Xác định hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển \({\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n}\) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\( {\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} + C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - \frac{2}{x}} \right) + C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - \frac{2}{x}} \right)^2} + ...\)
Theo giả thiết, ta có:
\(\begin{array}{l} C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97 \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n(n - 1) - 97 = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 8\\ n = - 6 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy n=8.
Từ đó ta có: \( {\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^8}\)
SHTQ:
\( {T_{k + 1}} = C_8^k{\left( {{x^2}} \right)^{8 - k}}{\left( { - \frac{2}{x}} \right)^k} = C_8^k.{x^{16 - 2k}}.\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^k}}}{{{x^k}}} = C_8^k{x^{16 - 2k - k}}{\left( { - 2} \right)^k} = {\left( { - 2} \right)^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}\)
Số hạng chứa x4 ứng với 16−3k=4⇔k=4.
Do đó hệ số chứa x4 là \( {\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120\)
