Tập tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \({{2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}.lo{{g}_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)={{4}^{\left| x-m \right|}}.lo{{g}_{2}}\left( 2\left| x-m \right|+2 \right)\) có đúng ba nghiệm phân biệt là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({{2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}.lo{{g}_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)={{4}^{\left| x-m \right|}}.lo{{g}_{2}}\left( 2\left| x-m \right|+2 \right)\)\(\left( 1 \right)\)
\(\Leftrightarrow {{2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}.lo{{g}_{2}}\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+2 \right]={{2}^{2\left| x-m \right|}}.lo{{g}_{2}}\left( 2\left| x-m \right|+2 \right)\)\(\left( 2 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{2}^{t}}.lo{{g}_{2}}\left( t+2 \right),t\ge 0.\)
Vì \({f}'\left( t \right)>0,\forall t\ge 0\Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\)
Khi đó \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}} \right]=f\left( 2\left| x-m \right| \right)\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=2\left| x-m \right|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} - 4x + 1 + 2m = 0\left( 3 \right)\\ {x^2} = 2m - 1\left( 4 \right) \end{array} \right.\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có đúng ba nghiệm phân biệt nếu xảy ra các trường hợp sau:
+) PT \(\left( 3 \right)\) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT\(\left( 4 \right)\)
\(\Rightarrow m=\frac{3}{2}\), thay vào PT \(\left( 4 \right)\) thỏa mãn
+) PT \(\left( 4 \right)\) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT\(\left( 3 \right)\)
\(\Rightarrow m=\frac{1}{2}\), thay vào PT \(\left( 3 \right)\) thỏa mãn
+) PT \(\left( 4 \right)\) có hai nghiệm phân biệt và PT \(\left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm của hai PT trùng nhau
\(\left( 4 \right)\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2m-1}\),với\(\frac{1}{2}
KL: \(m\in \left\{ \frac{1}{2};1;\frac{3}{2} \right\}.\)
