Tập hợp các giá trị của \(m\) để phương trình \(m\cdot \ln \left( 1-{{2}^{x}} \right)-x=m\) có nghiệm thuộc \(\left( -\infty ;0 \right)\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(1-{{2}^{x}}>0\)\(\Leftrightarrow x<0\).
Phương trình đã cho tương đương với: \(m=\frac{x}{\ln \left( 1-{{2}^{x}} \right)-1}\).
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{x}{\ln \left( 1-{{2}^{x}} \right)-1}\)với \(x<0\). Có \({f}'\,=\frac{\ln \left( 1-{{2}^{x}} \right)-1-x.\frac{-{{2}^{x}}.\ln 2}{1-{{2}^{x}}}}{{{\left( \ln \left( 1-{{2}^{x}} \right)-1 \right)}^{2}}}\)
\(=\frac{\left( 1-{{2}^{x}} \right)\ln \left( 1-{{2}^{x}} \right)-\left( 1-{{2}^{x}} \right)1+x{{.2}^{x}}.\ln 2}{\left( 1-{{2}^{x}} \right){{\left( \ln \left( 1-{{2}^{x}} \right)-1 \right)}^{2}}}\).
Vì \(x<0\) nên \(0<1-{{2}^{x}}<1\), do đó \({f}'\,\left( x \right)<0\text{ }\forall x<0\).
Vậy \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;\text{ }0 \right)\).
Mặt khác, dễ thấy \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \);\(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\). Ta có BBT sau:
