Phương trình: \(\ln \left(x^{2}+x+1\right)-\ln \left(2 x^{2}+1\right)=x^{2}-x\) có tổng bình phương các nghiệm bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\ln \left(x^{2}+x+1\right)-\ln \left(2 x^{2}+1\right)=x^{2}-x\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \ln \left(x^{2}+x+1\right)-\ln \left(2 x^{2}+1\right)=\left(2 x^{2}+1\right)-\left(x^{2}+x+1\right) \\ \Leftrightarrow \ln \left(x^{2}+x+1\right)+\left(x^{2}+x+1\right)=\ln \left(2 x^{2}+1\right)+\left(2 x^{2}+1\right) \end{array}\)
Nhận xét \(x^{2}+x+1>0, \forall x \in \mathbb{R} \text { và } 2 x^{2}+1>0, \forall x \in \mathbb{R}\)
Xet hàm đặc trưng \(f(t)=\ln t+t \text { với } t \in(0 ;+\infty)\)
Ta có: \(f^{\prime}(t)=\frac{1}{t}+1>0, \forall t \in(0 ;+\infty)\)
nên hàm số \(f(t)=\ln t+t\) đồng biến trên \((0 ;+\infty)\)
Do đó \(f\left(x^{2}+x+1\right)=f\left(2 x^{2}+1\right) \Leftrightarrow x^{2}+x+1=2 x^{2}+1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=1 \end{array}\right.\)
vậy tổng bình phương các nghiệm là 1
