Phương trình \(\sin \left(2 x+\frac{5 \pi}{2}\right)-3 \cos \left(x-\frac{7 \pi}{2}\right)=1+2 \sin x\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left(\frac{\pi}{2} ; 3 \pi\right) ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\sin \left(2 x+\frac{5 \pi}{2}\right)-3 \cos \left(x-\frac{7 \pi}{2}\right)=1+2 \sin x\)
\(\Leftrightarrow \sin \left[\left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)+2 \pi\right]-3 \cos \left[\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-4 \pi\right]=1+2 \sin x\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)-3 \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=1+2 \sin x \Leftrightarrow \cos 2 x+3 \sin x=1+2 \sin x \\ \Leftrightarrow 1-2 \sin ^{2} x+3 \sin x=1+2 \sin x \Leftrightarrow 2 \sin ^{2} x-\sin x=0 \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \sin x=0 \\ \sin x=\frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=k \pi \\ x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z}) \\ x=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \end{array}\right.\right. \end{array}\)
Mà \(x \in\left(\frac{\pi}{2} ; 3 \pi\right) \text { nên } x \in\left\{\pi ; 2 \pi ; \frac{13 \pi}{6} ; \frac{5 \pi}{6} ; \frac{17 \pi}{6}\right\}\)
