Phương trình \(\frac{\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x}{\cos x+\cos 2 x+\cos 3 x}=\sqrt{3}\) có nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(\cos x+\cos 2 x+\cos 3 x \neq 0 \Leftrightarrow 2 \cos 2 x \cdot \cos x+\cos 2 x \neq 0\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \cos 2 x \neq 0 \\ 2 \cos x+1 \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x \neq \frac{\pi}{4}+k \frac{\pi}{2} \\ x \neq \pm \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi \end{array}\right.\right.\)
Phương trình \(\Leftrightarrow \sin x+\sin 2 x+\sin 3 x=\sqrt{3}(\cos x+\cos 2 x+\cos 3 x)\)
\(\Leftrightarrow 2 \sin 2 x \cdot \cos x+\sin 2 x=\sqrt{3}(2 \cos 2 x \cdot \cos x+\cos 2 x) \Leftrightarrow \sin 2 x(2 \cos x+1)=\sqrt{3} \cos 2 x(2 \cos x+1)\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} 2 \cos x+1=0 \\ \sin 2 x-\sqrt{3} \cos 2 x=0 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \cos x=\frac{-1}{2} \\ \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)=0 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\pm \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi \\ 2 x-\frac{\pi}{3}=k \pi \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\pm \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi \\ x=\frac{\pi}{6}+k \frac{\pi}{2} \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.\right.\right.\)
So sánh với điều kiện, ta có \(x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi, x=\frac{7 \pi}{6}+k 2 \pi, x=\frac{5 \pi}{3}+k 2 \pi,(k \in \mathbb{Z})\)
