Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;\,2} \right]\) bằng 2. Số phần tử của S là

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

Bài: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lời giải:

Báo sai

Xét hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}\) trên \(\left[ {1;\,2} \right]\).

Ta có \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;\,2} \right]\) và \(f’\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right].\)

Suy ra \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1;\,2} \right]\).

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \frac{{3m + 4}}{3},\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{{2m + 1}}{2}\)

TH1: \(\frac{{2m + 1}}{2} \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – \frac{1}{2}.\)

Trong trường hợp này ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{3m + 4}}{3}\).

Theo yêu cầu bài toán ta có \(\frac{{3m + 4}}{3} = 2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}\) (thỏa mãn).

TH2: \(\frac{{3m + 4}}{3} \le 0 \Leftrightarrow m \le – \frac{4}{3}.\)

Trong trường hợp này ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{ – 2m – 1}}{2}\).

Theo yêu cầu bài toán ta có \(\frac{{ – 2m – 1}}{2} = 2 \Leftrightarrow m = – \frac{5}{2}\) (thỏa mãn).

TH3: \(\frac{{2m + 1}}{2} < 0 < \frac{{3m + 4}}{3} \Leftrightarrow – \frac{4}{3} < m < – \frac{1}{2}.\)

+) Nếu \(\frac{{ – 2m – 1}}{2} \le \frac{{3m + 4}}{3} \Leftrightarrow – \frac{{11}}{{12}} \le m < – \frac{1}{2}\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{3m + 4}}{3}\)

Theo yêu cầu bài toán ta có \(\frac{{3m + 4}}{3} = 2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}\) (không thỏa mãn).

+) Nếu \(\frac{{ – 2m – 1}}{2} \ge \frac{{3m + 4}}{3} \Leftrightarrow – \frac{{11}}{{12}} \ge m > – \frac{4}{3}\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{ – 2m – 1}}{2}\).

Theo yêu cầu bài toán ta có \(\frac{{ – 2m – 1}}{2} = 2 \Leftrightarrow m = – \frac{5}{2}\) (không thỏa mãn).

Vậy \(S = \left\{ {\frac{2}{3}; – \frac{5}{2}} \right\} \Rightarrow \left| S \right| = 2.\)