Cho a , b là các số thực dương thỏa mãn \(2\left(a^{2}+b^{2}\right)+a b=(a+b)(a b+2)\). Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức \(P=4\left(\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}\right)-9\left(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới a, b là các số thực dương, ta có:
\(2\left(a^{2}+b^{2}\right)+a b=(a+b)(a b+2) \Leftrightarrow 2\left(a^{2}+b^{2}\right)+a b=a^{2} b+a b^{2}+2(a+b)\)
\(\Leftrightarrow 2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+1=(a+b)+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Co-si ta có:
\((a+b)+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \geq 2 \sqrt{2(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}=2 \sqrt{2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right)}\)
Suy ra \(2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+1 \geq 2 \sqrt{2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right)} \Rightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right) \geq \frac{5}{2}\)
Đặt \(t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}, t \geq \frac{5}{2}\)
Ta có \(P=4\left(t^{3}-3 t\right)-9\left(t^{2}-2\right)=4 t^{3}-9 t^{2}-12 t+18\)
Xét hàm số \(f(t)=4 t^{3}-9 t^{2}-12 t+18 \text { với } t \geq \frac{5}{2}\)
\(f^{\prime}(t)=6\left(2 t^{2}-3 t-2\right)>0, \forall t \geq \frac{5}{2}\)
Suy ra \(\min \limits_{\left[\frac{5}{2} ;+\infty\right)} f(t)=f\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{23}{4}\)
Câu hỏi liên quan
-
Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{7-x} .\) . Khi đó
có bao nhiêu số nguyên dương nằm giữa m và M ? -
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=3 \cos 2 x-4 \sin x\) là?
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm \(f^{\prime}(x)\). Hàm số \(y=f^{\prime}(x)\) liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:
Biết rằng \(f(-1)=\frac{10}{3}, f(2)=6\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x)=f^{3}(x)-3 f(x)\) trên đoạn \([-1 ; 2]\) bằng?
-
Hàm số \(y=\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+1}\) có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trên đoạn [0;63] là:
-
Hàm số \(y=\frac{x^{2}-3 x}{x+1}\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0;3] là:
-
Cho hàm số \(y=x+\frac{1}{x+2}\), giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên [-1, 2] là:
-
Hàm số \(f(x)=2 \sin x+\sin 2 x \text { trên }\left[0 ; \frac{3 \pi}{2}\right]\) có giá trị lớn nhất là M, giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó M.m bằng
-
Hàm số \(f(x)=2 \sin x+\sin 2 x\) trên đoạn \(\left[0 ; \frac{3 \pi}{2}\right]\) có giá trị lớn nhất là M, giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó M.m bằng
-
Đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) là đường cong nét đậm và \(y = g’\left( x \right)\) là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao điểm A,B,C của \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = g’\left( x \right)\) trên hình vẽ lần lượt có hoành độ a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) – g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;c} \right]\)?
.jpg.png)
-
Hàm số \(y=\sin x+1\)đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\) bằng:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{2x+1}{1-x}\)trên đoạn [2;3] bằng:
-
Biết rằng phương trình \(\sqrt {2 – x} + \sqrt {2 + x} – \sqrt {4 – {x^2}} = m\) có nghiệm khi m thuộc \(\left[ {a;b} \right]\) với \(a, b \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị của \(T = \left( {a + 2} \right)\sqrt 2 + b\) là?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = – {x^2} – 1\). Với các số thực dương a, b thỏa mãn a < b, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) bằng.
-
Cho hàm số y =f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt { - {x^2} + 6x - 5} \) trên đoạn [1;5] lần lượt là
-
Khu chung cư Royal City có 250 căn hộ cho thuê. Nếu người ta cho thuê x căn hộ thì lợi nhuận hàng tháng, tính theo triệu đồng, được cho bởi: \(P\left( x \right)\; = \; - 8{x^2}\; + \;3200x\;--\;80000.\). Hỏi lợi nhuận tối đa họ có thể đạt được là bao nhiêu?
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt { - {x^2} + 4x} \) là:
-
Cho hàm số \(y=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}\) . Khẳng định nào sau đây sai ?
-
Một hành lang giữa hai tòa tháp có hình dạng một hình lăng trụ đứng. Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m, rộng 5m. Với độ dài xấp xỉ nào của BC thì thể tích hành lang này lớn nhất
-
Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x - 1}}\) với tham số m bằng bao nhiêu thì min[2;4] y = 3
