Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}-4 \sqrt{(x+4)(4-x)}+5\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(-4 \leq x \leq 4\)
Hàm số liên tục trên [-4;4]
Đặt \(t=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x} \Rightarrow t^{2}=x+4+4-x+2 \sqrt{(x+4)(4-x)} \Rightarrow \sqrt{(x+4)(4-x)}=\frac{t^{2}-8}{2}\)
Ta có \(y=t-4\left(\frac{t^{2}-8}{2}\right)+5=-2 t^{2}+t+21=f(t)\)
Tìm điều kiện của t: Xét hàm số \(g(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x} \text { vói } x \in[-4 ; 4]\)
\(\begin{array}{l} g^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x+4}}-\frac{1}{2 \sqrt{4-x}} ; g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0 ; g(-4)=2 \sqrt{2} ; g(0)=4 ; g(4)=2 \sqrt{2} \\ \Rightarrow \min \limits_{x \in[-4 ; 4]} g(x)=2 \sqrt{2} ; \max\limits _{x \in[-4 ; 4]} g(x)=4 \Rightarrow t \in[2 \sqrt{2} ; 4] \end{array}\)
Ta có \(f^{\prime}(t)=-4 t+1<0 \forall t \in[2 \sqrt{2} ; 4] \Rightarrow\)f(t) là hàm nghịch biến trên \([2 \sqrt{2} ; 4]\)
Vậy \(\underset{[-4 ; 4]}{\operatorname{Max}} y=f(2 \sqrt{2})=5+2 \sqrt{2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{1}{\sin x}\)trên khoảng (0;π ) là:
-
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { – 1;4} \right]\) như sau:
.png)
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) trên đoạn đoạn \(\left[ { – 1;4} \right]\) bằng
-
GTLN của hàm số \(y = {x^4} - 8{x^2} + 16\) trên đoạn [-1;3] là
-
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 24cm . Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông cạnh bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm) rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất
-
Biết giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\sqrt {4 – {x^2}} + x – \frac{1}{2}} \right| + m\) là 18. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=\sin ^{4} x+\cos ^{2} x+2\) là:
-
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 cm2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng:
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\) trên đoạn [1;3] là:
-
Hàm số \(y=x^{8}+\left(x^{4}-1\right)^{2}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1; 2] lần lượt tại hai điểm có hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\). Khi đó tích\(x_{1} . x_{2}\) có giá trị bằng
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{3x - 11}}{{x + 2}}\text{ trên đoạn } \left[ {1;5} \right]\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp 2 trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.
.jpg.png)
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( {\frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2}} \right)\) trên đoạn \(\left[ { – \frac{{5\pi }}{6}\,;\,\frac{\pi }{6}} \right]\) bằng
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{ - 2x - 5}}{{x + 3}}\text{ trên đoạn } \left[ { - 2;1} \right]\)
-
Hàm số \(y=\frac{x^{2}-2}{\sqrt{x^{2}+1}}\) có giá trị nhỏ nhất bằng
-
Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x(cm) , chiều cao là h (cm) và thể tích là 500cm3. Tìm độ dài cạnh hình vuông sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.
-
Một hành lang giữa hai tòa tháp có hình dạng một hình lăng trụ đứng. Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m, rộng 5m. Với độ dài xấp xỉ nào của BC thì thể tích hành lang này lớn nhất
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số đạo hàm \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ.
.jpg.png)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 2021\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y = – {x^3} + 3{x^2} + 2\).Gọi M,n lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ {0;3} \right]\).Tính \(\left( {M + n} \right)\).
-
Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = {x^5} – 5{x^4} + 5{x^3} + 1\) trên \(\left[ { – 1;2} \right]?\)
-
Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\). Với tham số m bằng bao nhiêu thì thỏa mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \;y\; + \;\mathop {\max \;y\;}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \; = \;\frac{{16}}{3}\;\)?
