Có bao nhiêu số phức z có phần thực khác 0, thỏa mãn \(\left| {z – \left( {3 + i} \right)} \right| = 5\) và \(z.\overline z = 25\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi\). Điều kiện: \(a \ne 0\).
Theo giả thiết, ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z – \left( {3 + i} \right)} \right| = 5\\z.\overline z = 25\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a + bi – 3 – i} \right| = 5\\\left( {a + bi} \right)\left( {a – bi} \right) = 25\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {a – 3} \right)}^2} + {{\left( {b – 1} \right)}^2}} = 5\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} – 6a – 2b = 15\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 – 6a – 2b = 15\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 – 3a – b = 0\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 – 3a\\{a^2} + {\left( {5 – 3a} \right)^2} = 25\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 – 3a\\10{a^2} – 30a = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 5\\a = 0(l)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = – 4\\a = 3(n)\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Vậy có 1 số phức z thỏa đề: z = 3 – 4i.
