Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z|^{2}=2|z+\bar{z}|+4 \text { và }|z-1-i|=|z-3+3 i| ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Gọi } z=x+y i(x ; y \in \mathbb{R}) \\ |z|^{2}=2|z+\bar{z}|+4 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=4|x|+4 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}-4 x-4=0, x \geq 0(1) \\ x^{2}+y^{2}+4 x-4=0, x<0(2) \end{array}\right. \\ |z-1-i|=|z-3+3 i| \Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=(x-3)^{2}+(y+3)^{2} \Leftrightarrow 4 x=8 y+16 \Leftrightarrow x=2 y+4(3) . \end{array}\)
\(\begin{aligned} &\text { +Thay (3) vào (1) ta được: }\\ &(2 y+4)^{2}+y^{2}-4(2 y+4)-4=0 \Leftrightarrow 5 y^{2}+8 y-4=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} y=\frac{2}{5} \Rightarrow x=\frac{24}{5}(n) \\ y=-2 \Rightarrow x=0(n) \end{array}\right. \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { +Thay (3) vào (2) ta được: }\\ &(2 y+4)^{2}+y^{2}+4(2 y+4)-4=0 \Leftrightarrow 5 y^{2}+24 y+28=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} y=-2 \Rightarrow x=0(l) \\ y=-\frac{14}{5} \Rightarrow x=-\frac{8}{5}(n) \end{array}\right. \end{aligned}\)
Vậy có 3 số phức thỏa điều kiện.
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 4 số phứcz thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right| = \left| {{z^2}} \right|\) và \(\left| z \right| = m\)?
-
Cho số phức (z = a + bi ) và ( z ) là số phức liên hợp của (z ). Chọn kết luận đúng:
-
Phần ảo của số phức \(z=(1-i)^{2010}+(1+i)^{2011}\) là:
-
Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in } \right)\) thỏa mãn \(z + 1 + 3i - \left| z \right|i = 0\)
Tính S = a+3b.
-
Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho các số phức z thỏa \(|z-3+4 i|=4\). Giá trị lớn nhất của |z| bằng :
-
Cho số phức \(z = 1 - \frac{1}{3}i\) Tính số phức \(w = i\overline z + 3i\)
-
Cho z thỏa \(|z-1-2 i|=|z+3 i-1|\). Giá trị nhỏ nhất của \(|z-2+2 i|\) bằng
-
Cho số phức z = 4 + 6i . Tìm số phức \(w = i.\overline z + z\)
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa \(\left|\frac{z+1}{i-z}\right|=1 \text { và }\left|\frac{z-i}{2+z}\right|=1 ?\)
-
Tìm môđun của số phức z biết \(z – 4 = \left( {1 + {\rm{i}}} \right)\left| z \right| – \left( {4 + 3z} \right){\rm{i}}\).
-
Gọi \(z_1,z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \(z^{2}-2 z+5=0\). trong đó \(z_1\) là số phức có phần ảo âm. Tìm số phức \(\omega=z_{1}+2 z_{2}\)
-
Cho số phức z = 1- 3i. Tìm số phức \(w = iz + \overline z\) .
-
Tính: \( {\left( {1 - i} \right)^{2006}}\)
-
Cho số phức z có phần ảo khác 0 thỏa mãn \(\left| {z – \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \) và \(z.\overline z = 25\). Tìm mô đun của số phức w = 1 + i – z
-
Giải phương trình \(z^{2}-4 z+5=0\) trên tập số phức ta được các nghiệm
-
Tìm số phức z thỏa mãn \((2-i)(1+i)+\bar{z}=4-2 i\).
-
Gọi \({z_1}, {z_2}\) là hai trong các số phức thỏa mãn \(\left| {z – 1 + 2i} \right| = 5\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 8\). Tìm môđun của số phức \(w = {z_1} + {z_2} – 2 + 4i\).
-
Cho hai số phức z1 = 1 + i; z2 = 1 - 2i. Tìm số phức z = z1.z2.
-
Cho hai số phức \(z_1 = 1- 2i ,z_2 = x - 4 + yi\) với \(x, y \in\mathbb{R}\) . Tìm cặp ( x; y ) để \(z_2 = 2\overline {z_1}\) .
