Cho số phức \(z_1,z_2,z_3\) thỏa mãn \(|z_1|=|z_2|=|z_3|=1\) và \(z _1+ z _2+ z _3= 0\) Tính \(A = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo \(|z_1|=|z_2|=|z_3|=1\) và \(z _1+ z _2+ z _3= 0\) nên các điểm biểu diễn của \(z_1,z_2,z_3\) là ba đỉnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị nhận gốc O làm trọng tâm, vậy \(z_1,z_2,z_3\) là ba nghiệm của phương trình \(z^3=1\)
\(\begin{array}{l} {z^3} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z_1} = 1\\ {z_2} = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\ {z_3} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy
\(\begin{array}{l} A = {1^2} + {\left( {\frac{{ - 1}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 1}}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\\ = 0 \end{array}\)
