Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và đường trung tuyến AM (H,M∈BC) . Biết chu vi của tam giác là 72cm và AM – AH = 7 (cm). Tính diện tích S của tam giác ABC.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt AH = a (a > 0 ) khi đó ta có: AM = a + 7 (cm).
Lại có tam giác ABC vuông tại A, có trung tuyến AM nên BC = 2AM
⇒ BC = 2(a+7)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:
\(AB.AC = AH.BC = 2a.\left( {a + 7} \right) = 2{a^2} + 14a.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)
Chu vi của tam giác bằng 72 nên ta có:
\(AB + AC + BC = 72 \Rightarrow AB + AC = 72 - 2\left( {a + 7} \right)\)
Áp dụng định lý Py – ta – go trong tam giác vuông ABC ta có:
\(\begin{array}{l} A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 4{\left( {a + 7} \right)^2}\\ \begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow 2AB.AC = {{\left( {AB + AC} \right)}^2} - \left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)}\\ {\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: = {{\left[ {72 - 2\left( {a + 7} \right)} \right]}^2} - 4{{\left( {a + 7} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow 2AB.AC = 4{{\left( {29 - a} \right)}^2} - 4{{\left( {a + 7} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow AB.AC = 2\left( {841 - 58a + {a^2}} \right) - 2\left( {{a^2} + 14a + 49} \right)}\\ { \Leftrightarrow AB.AC = 1584 - 144a{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)} \end{array} \end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có phương trình
\(2{a^2} + 14a = 1584 - 144a \Leftrightarrow {a^2} + 79a - 792 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 9(tm)\\ a = - 88(ktm) \end{array} \right.\)
Vậy AH = 9 (cm); BC = 2(9 + 7) = 32 (cm). Khi đó diện tích của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.9.32 = 144\left( {c{m^2}} \right).\)
