Cho tam giác ABC , trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho \(A M=3 M C, N C=2 N B\) . Gọi O là giao điểm của AN và BM . Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác OBN bằng 1.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } \overrightarrow{B O}=x \overrightarrow{B A}+(1-x) \overrightarrow{B N} \text { và } \overrightarrow{A O}=y \overrightarrow{A M}+(1-y) \overrightarrow{A B} \text { . }\\ &\Rightarrow \overrightarrow{A B}=y \overrightarrow{A M}+(x-y+1) \overrightarrow{A B}+(x-1) \overrightarrow{B N} \Leftrightarrow(x-y) \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A M}+(x-1) \overrightarrow{B N}=\overrightarrow{0}\text { (1) }\\ &\text { Đặt } \overrightarrow{C B}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b} \text { ta được } \overrightarrow{A B}=\vec{a}-\vec{b} ; \overrightarrow{A M}=-\frac{3}{4} \vec{b} ; \overrightarrow{B N}=-\frac{1}{3} \vec{a}\\ &\text { Thay vào (1) và thu gọn ta được: }(x-y) \vec{a}-(x-y) \vec{b}=\frac{x-1}{3} \vec{a}+\frac{3}{4} y \vec{b}\\ &\text { Suy ra }\left\{\begin{array} { l } { x - y = \frac { x - 1 } { 3 } } \\ { y - x = \frac { 3 } { 4 } y } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=\frac{1}{10} \\ y=\frac{2}{5} \end{array} \text { . Với } x=\frac{1}{10} \text { ta được } \overrightarrow{B O}=\frac{1}{10} \overrightarrow{B A}+\left(1-\frac{1}{10}\right) \overrightarrow{B N}\right.\right. \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\Leftrightarrow \overrightarrow{B O}-\overrightarrow{B N}=\frac{1}{10}(\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{B N}) \Leftrightarrow \overrightarrow{N O}=\frac{1}{10} \overrightarrow{N A} \Leftrightarrow \frac{N A}{N O}=10 \\ &\operatorname{Vi} S_{O N B}=1 \Leftrightarrow S_{N A B}=10 \Rightarrow S_{A B C}=30 \end{aligned}\)
