Cho mặt phẳng $\left( P \right):2{\rm{x}} + 2y – 2{\rm{z}} + 15 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y – 2{\rm{z}} – 1 = 0.$ Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ đến một điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ là

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {x^2} - 2x + 2y - 4z - 10 = 0$ và mặt phẳng (P): :2x + y - z - 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng một nửa bán kính mặt cầu (S):

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,AC=a\sqrt{3},$ góc $\widehat{ACB}$ bằng ${{30}^{0}}.$ Góc giữa đường thẳng $AB'$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A'ABC$ bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $2\sqrt2$. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3 Mặt phẳng $(\alpha)$ qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong sau là mặt cầu: $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {2 - \ln t} \right)x + 4\ln t.y + 2\left( {\ln t + 1} \right)z + 5{\ln ^2}t + 8 = 0$

Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O cách Δ một khoảng bằng 20cm. Mặt cầu (S) tâm O cắt đường thẳng Δ theo một dây có độ dài 30cm có bán kính r bằng:

Cho khối chóp$S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $B,$ biết $AB=1$;$AC=\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, biết $SM\bot (ABC)$. Tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện $SMAB$ và $SMAC$ bằng $15\pi$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và $AB=a.$ Cạnh bên $SA=a\sqrt{2}$, hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$ là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$, $R$ là bán kính mặt cầu có tâm $G$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( SAB \right)$. Đẳng thức nào sau đây sai?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} – \left( {2m – 2} \right)x + 3my + \left( {6m – 2} \right)z – 7 = 0$. Gọi R là bán kính của $\left( S \right)$, giá trị nhỏ nhất của R bằng:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại C và $BC=a.$ Mặt phẳng $\left( SAB \right)$ vuông góc với đáy, $SA=SB=a,\widehat{\text{ASB}}={{120}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left( {0; – 1;2} \right), B\left( {2; – 3;0} \right), C\left( { – 2;1;1} \right), D\left( {0; – 1;3} \right)$. Gọi $\left( L \right)$ là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1$. Biết rằng $\left( L \right)$ là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và tiếp xúc với trục hoành có dạng

Mặt cầu tâm $I\left( { – 1;2;0} \right)$ đường kính bằng 10 có phương trình là:

Hình nào sau đây không có mặt cầu ngoại tiếp?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC nhọn có $H\left( {2;2;1} \right), K\left( { – \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)$, O lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên các cạnh BC, AC, AB. Gọi I là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tâm A, đi qua điểm I là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a. SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SB và đáy là 45o. Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a là:

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có tâm $I\left( { – 1;1;0} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {0,1,0} \right)$?

Người ta thả một viên bi sắt có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên bi sắt đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong lòng cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên bi sắt đó bằng:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( {0\,;\, – 1\,;\,3} \right),B\left( { – 2\,;\, – 8\,;\, – 4} \right), C\left( {2\,;\, – 1\,;\,1} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 14$. Gọi $M\left( {{x_M}\,;\,{y_M}\,;\,{z_M}} \right)$ là điểm trên $\left( S \right)$ sao cho biểu thức $\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $P = {x_M} + {y_M}$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\left( d \right):\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + y – 2z + 2 = 0$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng $\left( d \right)$, có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với $\left( P \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1; – 1;1} \right)$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là