Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a. SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SB và đáy là 45o. Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có mặt cầu S(A;r) cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a khi và chỉ khi
\(\left( {\widehat {SB;\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SB,SA}} \right) = \widehat {SBA} = {45^0} \Rightarrow SA = AB = 2a\)
Hạ AK ⊥ BD tại K, hạ AH ⊥ SK tại H. Do BD ⊥ AK và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK), suy ra BD ⊥ AH. Mặt khác AH ⊥ SK nên ta có AH ⊥ (SBDB) hay d(A; (SBD)) = AH. Xét tam giác vuông SAK và tam giác vuông ABD ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\\
= \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 6 }}
\end{array}\)
Khi đó ta có:
\({r^2} = \frac{{4{a^2}}}{6} + {a^2} \Rightarrow r = \frac{{a\sqrt {15} }}{3}\)
