Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC nhọn có $H\left( {2;2;1} \right), K\left( { – \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)$, O lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên các cạnh BC, AC, AB. Gọi I là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tâm A, đi qua điểm I là

A. $\left( S \right):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 20$

B. $\left( S \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 5$

C. $\left( S \right):{x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 20$$

D. $\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 5$

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Bài: Mặt cầu

Lời giải:

Báo sai

Trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, ta có tứ giác AOIK nội tiếp trong đường tròn đường kính AI, do đó $\widehat {KAI} = \widehat {KOI}$ $\left( 1 \right)$.

Ta cũng có tứ giác ACHO nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, do đó $\widehat {KAI} = \widehat {HOI}$ $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\widehat {KOI} = \widehat {HOI}$, hay IO là phân giác trong của góc $\widehat {KOH}$.

Tương tự, HI là phân giác trong của góc $\widehat {KHO}$.

Như vậy, điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHK.

Ta có OH = 3, OK = 4, HK = 5. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHK nên

$HK.\overrightarrow {IO} + OK.\overrightarrow {IH} + OH.\overrightarrow {IK} = \overrightarrow 0 $

$ \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IO} + 4\overrightarrow {IH} + 3\overrightarrow {IK} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I\left( {0;1;1} \right)$.

Đường thẳng AH có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow {IH} = \left( {2;1;0} \right)$ nên phương trình AH là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\\z = 1\end{array} \right.$.

Vì $A \in AH$ nên $A\left( {2t;1 + t;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} \left( {2t;1 + t;1} \right)$.

Mà $OI \bot OA$ nên

$\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {OA} = 0 \Leftrightarrow 0.\left( {2t} \right) + 1.\left( {1 + t} \right) + 1.1 = 0 \Leftrightarrow t = – 2 \Rightarrow A\left( { – 4; – 1;1} \right)$.

Như vậy $AI = \sqrt {20} $.

Vậy, phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tâm A, đi qua điểm I là

$\left( S \right):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 20$.