Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2\,;\,0\,;\,1} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 2}}{1}\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVectơ chỉ phương của đường thẳng d là: \(\vec u = \left( {1\,;\,2\,;\,1} \right)\).
Gọi \(H\left( {1 + t\,;\,2t\,;\,2 + t} \right) \in d\) là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d.
Suy ra : \(\overrightarrow {IH} = \left( {t – 1\,;\,2t\,;\,t + 1} \right)\).
Ta có : \(\overrightarrow {IH} \bot \vec u \Leftrightarrow \overrightarrow {IH} .\,\vec u = 0 \Leftrightarrow t – 1 + 4t + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( { – 1\,;\,0\,;\,1} \right)\).
Suy ra : \(IH = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2 \)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc với đường thẳng d nên có bán kính \(R = IH = \sqrt 2 \).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 2\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; – 4} \right)\) và diện tích bằng \(36\pi \). Phương trình của \(\left( S \right)\) là:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB=2a,AD=a.\) Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng \({{45}^{0}}.\) Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp \(S.ABCD\) và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(N.ABC.\) Biểu thức liên hệ giữa R và \(h\) là:
-
Có 4 viên bi hình cầu bán kính bằng 1cm. Người ta đặt 3 viên bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt bàn. Sau đó đai 3 viên bi đó lại và đặt 1 viên bi thứ 4 tiếp xúc vởi cả 3 viên bi trên như hình vẽ bên dưới. Gọi O là điểm thuộc bề mặt của viên bi thứ 4 có khoảng cách đến mặt bàn là lớn nhất. Khoảng cách từ O đến mặt bàn bằng
-
Khối cầu bán kính R = 2a có thể tích là
-
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;3} \right)\), có tâm \(I \in {\rm{Oy}}\) và bán kính bằng \(\sqrt {10} \) là:
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương.
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và \(AB=a.\) Cạnh bên \(SA=a\sqrt{2}\), hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) là:
-
Khi cắt mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết \(R=1\), tính bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
-
Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\) hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là trung điểm H của cạnh \(BC.\) Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Gọi G là trọng tâm tam giác \(SAC,R\) là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( SAB \right).\) Đẳng thức nào sau đây sai?
-
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có điểm chung nếu và chỉ nếu:
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đáy bằng 3. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng (AMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (BCD). Gọi V1, V2 lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN. Tính V1 + V2?
-
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó:
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {0; – 1;2} \right), B\left( {2; – 3;0} \right), C\left( { – 2;1;1} \right), D\left( {0; – 1;3} \right)\). Gọi \(\left( L \right)\) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1\). Biết rằng \(\left( L \right)\) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?
-
Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (α). Biết khoảng cách từ O tới (α) bằng d. Nếu d < R thì giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt cầu S(O;R) là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?
-
Thể tích của một khối cầu là \(113\frac{1}{7}\;c{m^3}\) thì bán kính nó là bao nhiêu ? \(\left( {{\rm{\pi }} \approx \frac{{22}}{7}} \right)\)
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình là \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 6z + 7 = 0\). Cho ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho. Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng?
-
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a,AB = b,AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng :
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right)\), \(AC=b\), \(AB=c\), \(\widehat{BAC}=\alpha \). Gọi \({B}'\), \({C}'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB\), \(SC\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\) theo \(b\), \(c\), \(\alpha .\)
-
Cho ba hình cầu có bán kính lần lượt là R1, R2 ,R3 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Các tiếp điểm của ba hình cầu với mặt phẳng (P) lập thành một tam giác có độ dài cạnh lần lượt là 2, 3, 4. Tính tổng \(R_1 + R_2 + R_3\)
