Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,AC=a\sqrt{3},\) góc \(\widehat{ACB}\) bằng \({{30}^{0}}.\) Góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(A'ABC\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có \({{60}^{0}}=\widehat{\left( AB',\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( AB',AB \right)}=\widehat{B'AB}.\)
Trong tam giác ABC, ta có \(AB=AC.\sin \widehat{ACB}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)
Trong \(\Delta B'BA,\) ta có \(BB'=AB.\tan \widehat{B'AB}=\frac{3a}{2}\).
Gọi N là trung điểm AC, suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)
Gọi I là trung điểm \(A'C,\) suy ra \(IN//A'A\Rightarrow IN\bot \left( ABC \right).\)
Do đó \(IN\) là trục của \(\Delta ABC\), suy ra \(IA=IB=IC\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Hơn nữa, tam giác \(A'AC\) vuông tại A có I là trung điểm \(\text{A }\!\!'\!\!\text{ C}\) nên \(IA'=IB'=IC'\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\), ta có \(IA'=IA=IB=IC\) hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A'.ABC\) với bán kính \(R=IA'=\frac{A'C}{2}=\frac{\sqrt{\text{AA}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{21}}{4}.\)
