Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 27\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0;\,0;\, – 4} \right), B\left( {2;\,0;\,0} \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khối nón đỉnh là tâm của \(\left( S \right)\) và đáy là là đường tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất. Biết rằng \(\left( \alpha \right):ax + by – z + c = 0\), khi đó a – b + c bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; – 2;3} \right)\) và bán kính \(R = 3\sqrt 3 \).
Vì \(\left( \alpha \right):ax + by – z + c = 0\) đi qua hai điểm \(A\left( {0;\,0;\, – 4} \right), B\left( {2;\,0;\,0} \right)\) nên c = – 4 và a = 2.
Suy ra \(\left( \alpha \right):2x + by – z – 4 = 0\).
Đặt IH = x, với \(0 < x < 3\sqrt 3 \) ta có \(r = \sqrt {{R^2} – {x^2}} = \sqrt {27 – {x^2}} \).
Thể tích khối nón là \(V = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}IH = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}\left( {27 – {x^2}} \right)x = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}{\rm{\pi }}\sqrt {\left( {27 – {x^2}} \right).\left( {27 – {x^2}} \right).2{x^2}} \le 18{\rm{\pi }}\).
\({V_{\max }} = 18{\rm{\pi }}\) khi \(27 – {x^2} = {x^2} \Leftrightarrow x = 3\).
Khi đó, \(d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2b + 5} \right|}}{{\sqrt {{b^2} + 5} }} = 3 \Leftrightarrow {\left( {2b + 5} \right)^2} = 9\left( {{b^2} + 5} \right) \Leftrightarrow b = 2\)
Vậy a – b + c = – 4
