Cho lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=AC=a,BC=\sqrt{3}a\). Cạnh bên \(A{A}'=2a\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(A{B}'{C}'C\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(A{B}'{C}'C\) cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng đã cho.
Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Đường thẳng qua \(O\) vuông góc với \(\left( ABC \right)\) cắt mặt phẳng trung trực của \(A{A}'\) tại \(I\). Khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Mặt khác \(\cos \widehat{A\,}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}=\frac{1}{2}\)
Ta có: \({{R}_{ABC}}=\frac{BC}{2\operatorname{sinA}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sin {{120}^{0}}}=a\) do đó \(R=IA=\sqrt{O{{I}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\).
