Người ta muốn xây một chiếc bể chứa nước có hình dạng là một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 500/3 m3. Biết đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và giá thuê thợ xây là 100.000 đồng /m2. Tìm kích thước của hồ để chi phí thuê nhân công ít nhất. Khi đó chi phí thuê nhân công là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi h là chiều cao của bể chứa. Đáy hồ có chiều rộng là x và chiều dài là 2x.
Theo giả thiết ta có
\( V = \frac{{500}}{3} = h.x.\left( {2x} \right) = 2{x^2}h \Rightarrow h = \frac{{250}}{{3{x^2}}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right).\)
Do bể chứa không nắp nên chi phí thuê nhân công chính là chi phí thuê nhân công để xây dựng mặt đáy với các mặt xung quanh.
Diện tích mặt đáy là \(x.(2x)=2x^2(m^2)\)
Có 4 mặt xung quanh với tổng diện tích là
\(h.x+h.(2x)+h.x+h(2x)=6xh.\)
Do đó tổng diện tích mặt xung quanh với mặt đáy là \(S(x)=2x^2+6xh(2)\)
Để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta cần tìm cực trị của hàm S(x).
Thay (1) vào (2) ta nhận được
\( S\left( x \right) = 2{x^2} + 6x.\frac{{250}}{{3{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{500}}{x}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số\( \left( {2{x^2};\frac{{250}}{x};\frac{{250}}{x}} \right)\) ta nhận được
\( S\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{{250}}{x} + \frac{{250}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2}.\frac{{250}}{x}.\frac{{250}}{x}}} = 3\sqrt[3]{{2.250.250}} = 150.\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \( 2{x^2} = \frac{{250}}{x} \Leftrightarrow x = 5.\) Khi đó chi phí thuê nhân công là 150×100.000=15.000.000 (đồng).
Chọn đáp án A.
