Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left( {0; – 1;2} \right), B\left( {2; – 3;0} \right), C\left( { – 2;1;1} \right), D\left( {0; – 1;3} \right)$. Gọi $\left( L \right)$ là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1$. Biết rằng $\left( L \right)$ là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một đường thẳng d. Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d. Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) nếu và chỉ nếu:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại B và $BC=a.$ Cạnh bên SA vuông góc với đáy $\left( ABC \right)$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB và SC. Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKCB$ là:

Cho hình chóp S.ABC  có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 5, AB = 3, BC = 4. Bán kính R  của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  bằng:

Biết rằng đường thẳng d: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = t\\ z = - 1 - t \end{array} \right.$ là tiếp tuyến của mặt cầu tâm I(0;0;1). Bán kính R của mặt cầu đó là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu có phương trình ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 9$. Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu đó là

Mặt cầu (S) có tâm $I(1 ; 2 ;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): x-2 y-2 z-8=0$ có phương trình là 

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( { – 1\,;\,2\,;\,3} \right)$ và $B\left( {2\,;\,0\,;\, – 2} \right)$. Phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Ox và đi qua hai điểm A và $B có phương trình là

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {5;0;0} \right)$ và $B\left( {3;4;0} \right)$. Với C là điểm nằm trên trục Oz, gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng

Cho hình chóp đều (S.ABC ) có chiều cao bằng h và cạnh bên bằng b. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2; – 4} \right)$ và diện tích bằng $36\pi$. Phương trình của $\left( S \right)$ là:

Trong không gian $Oxyz,$ phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I( – 1;2;0),$ bán kính $R = 4$ là

Thể tích của khối cầu bán kính a bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot \left( ABC \right)$, $AC=b$, $AB=c$, $\widehat{BAC}=\alpha$. Gọi ${B}'$, ${C}'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$, $SC$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BC{C}'{B}'$ theo $b$, $c$, $\alpha .$

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A,AB = AC = a,AA' = acăn 2 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA'B'C' là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm $A(1 ; 2 ; 3) \text { và } \mathrm{B}(-1 ; 4 ; 1)$ . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: 

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A(1;0;1) và cắt mặt phẳng (P):x−y+z−1=0 với thiết diện là hình tròn có đường kính bằng 2.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\left( d \right):\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + y – 2z + 2 = 0$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng $\left( d \right)$, có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với $\left( P \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1; – 1;1} \right)$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) theo a là:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có đường kính AB với $A\left( {2;1;1} \right), B\left( {0;3; – 1} \right)$ có phương trình là