Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y – 2z + 2 = 0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng \(\left( d \right)\), có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với \(\left( P \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1; – 1;1} \right)\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(I,{\rm{ }}R\) lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\). Ta có: \(I \in \left( d \right)\).
\( \Rightarrow I\left( {1 + 3t; – 1 + t;t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \left( {3t;t;t – 1} \right)\). \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( P \right)\) và đi qua A nên ta có:
\(R = AI = {d_{\left( {I,\left( P \right)} \right)}} = \frac{{\left| {5t + 3} \right|}}{3} \Rightarrow 37{t^2} – 24t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{{24}}{{37}}\end{array} \right.\).
Do mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn t = 0, suy ra \(I\left( {1; – 1;0} \right),R = 1\).
Vậy \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 1\).
