Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó:

Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong sau là mặt cầu: \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {2 - \ln t} \right)x + 4\ln t.y + 2\left( {\ln t + 1} \right)z + 5{\ln ^2}t + 8 = 0\)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a. Mặt bên SAB, SCA lần lượt là các tam giác vuông tại B và C. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABC bằng \(\frac{2}{3}{a^3}\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {0; – 1;2} \right), B\left( {2; – 3;0} \right), C\left( { – 2;1;1} \right), D\left( {0; – 1;3} \right)\). Gọi \(\left( L \right)\) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1\). Biết rằng \(\left( L \right)\) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và diện tích bằng \(32\pi .\) Phương trình của \(\left( S \right)\) là

Cho khối chóp\(S.ABCD\)có \(SA\bot (ABCD)\); đáy\(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) với\(AB=BC=a;\)\(AD=2a\); \(SA=a\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\). Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ECD\).

Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một đường thẳng d. Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d. Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) nếu và chỉ nếu:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{y}{6} = \frac{{z – 1}}{2}\) và điểm \(I\left( {1; – 2;5} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I có phương trình là:

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều nằm ở đâu?

Cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 4z + 2 = 0\) và mặt phẳng (P):2x−3y+z−m=0. Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có giao nhau khi:

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) Có tâm \(I\), bán kính \(R=5\). Một đường thằng \(\Delta \) cắt \(\left( S \right)\) tại \(2\) điểm \(M\), \(N\) phân biệt nhưng không đi qua \(I\). Đặt \(MN=2m\). Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác \(IMN\) lớn nhất?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {5;1; – 1} \right), B\left( {14; – 3;3} \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;2;2} \right)\). Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A và B lên \(\Delta \). Mặt cầu đi qua hai điểm C, D có diện tích nhỏ nhất là

Hình chóp nào sau đây luôn nội tiếp được mặt cầu?

Một mặt cầu có diện tích \(16{\rm{\pi }}\) thì bán kính mặt cầu bằng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,AC=a\sqrt{3},\) góc \(\widehat{ACB}\) bằng \({{30}^{0}}.\) Góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(A'ABC\) bằng:

Cho một đồ chơi hình khối chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = SB = SC = 6cm. Trong tất cả các khối cầu có thể chứa đồ chơi đó thì khối cầu có bán kính nhỏ nhất là:

Diện tích của mặt cầu có bán kính R bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \({d_2}:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 9}}{3}\). Mặt cầu có một đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là:

Cho tứ diện ABCD có \(AB = a; AC = BC = AD = BD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi M, Nlà trung điểm của AB, CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD) ; (ABC) là \(\alpha\) . Tính \(cos \alpha\) biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD

Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ bằng bê tông với chiều cao 100cm, độ dày của thành ống là 10cm và đường kính của ống là 50cm. Lượng bê tông cần phải đổ là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình là \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 6z + 7 = 0\). Cho ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho. Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng?