Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu \((S): x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+2 y+6 z-2=0\).Tìm của toạ độ tâm và tính bán kính 

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( { – 1;1;0} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0,1,0} \right)\)?

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B và BC = a, SA ⊥ (ABC), SA = 2a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right)\), \(AB=1\), \(AC=2\) và \(\widehat{BAC}=60{}^\circ .\) Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\), \(SC\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu đi qua các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(M\), \(N\).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):\,{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 25, \left( {{S_2}} \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y + 4z – 4 = 0\). Biết các tiếp tuyến chung của hai mặt cầu đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu đi qua điểm cố định \(M\left( {a;b;c} \right)\). Tính \({a^2} + bc\) bằng

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;3} \right)\), có tâm \(I \in {\rm{Oy}}\) và bán kính bằng \(\sqrt {10} \) là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x – 2y – 2z – 8 = 0\). Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;2; – 1} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(H\left( {1;\,2;\, – 2} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Khối cầu thể tích bằng \(36\pi \). Bán kính của khối cầu là

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng \(a\). Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp \(S.ABCD\) có bán kính bằng:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {0\,;\, – 1\,;\,3} \right),B\left( { – 2\,;\, – 8\,;\, – 4} \right), C\left( {2\,;\, – 1\,;\,1} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 14\). Gọi \(M\left( {{x_M}\,;\,{y_M}\,;\,{z_M}} \right)\) là điểm trên \(\left( S \right)\) sao cho biểu thức \(\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(P = {x_M} + {y_M}\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm \(I(2 ;-1 ; 3\) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình  

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là trung điểm \(H\) của cạnh \(BC\). Góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAC\), \(R\) là bán kính mặt cầu có tâm \(G\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( SAB \right)\). Đẳng thức nào sau đây sai?

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right)\), \(AC=b\), \(AB=c\), \(\widehat{BAC}=\alpha \). Gọi \({B}'\), \({C}'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB\), \(SC\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\) theo \(b\), \(c\), \(\alpha .\)

Khi cắt mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết \(R=1\), tính bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) để khối trụ có thể tích lớn nhất.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B  và BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB bằng

Cho mặt cầu S(O; R) và điểm A cố định với OA = d. Qua A, kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại M. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM?

Diện tích của mặt cầu bán kính R = 3 bằng

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều và \(\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Cho bát diện đều, tính tỷ số giữa thể tích khối cầu nội tiếp và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình bát diện đều đó.