Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\) hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là trung điểm H của cạnh \(BC.\) Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Gọi G là trọng tâm tam giác \(SAC,R\) là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( SAB \right).\) Đẳng thức nào sau đây sai?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có \({{60}^{0}}=\widehat{\left( SA,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SA,HA \right)}=\widehat{SAH}.\)
Tam giác \(\text{ABC}\) đều cạnh \(a\) nên \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)
Trong tam giác vuông SHA, ta có
\(SH=AH.\tan \widehat{SAH}=\frac{3a}{2}.\)
Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với \(\left( SAB \right)\) nên bán kính mặt cầu \(R=d\left[ G,\left( SAB \right) \right]\)
Ta có \(d\left[ G,\left( SAB \right) \right]=\frac{1}{3}d\left[ C,\left( SAB \right) \right]=\frac{2}{3}d\left[ H,\left( SAB \right) \right].\) Gọi M, E lần lượt là trung điểm \(AB,MB.\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} CM \bot AB\\ CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l} HE \bot AB\\ HE = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \end{array} \right.\)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SE, suy ra \(HK\bot SE\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} HE \bot AB\\ AB \bot SH \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow AB \bot HK\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow HK\bot \left( SAB \right),d\left[ H,\left( SAB \right) \right]=HK.\)
Trong tam giác vuông SHE, ta có \(HK=\frac{SH.HE}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=\frac{3a}{2\sqrt{13}}.\) Vậy \(R=\frac{2}{3}HK=\frac{a}{\sqrt{13}}.\)
