Trong không gian Oxyz, cho điểm $H\left( {1;\,2;\, – 2} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 81$

B. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$

C. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 9$

D. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 25$

Sai C là đáp án đúng Xem lời giải

Chính xác Xem lời giải

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Bài: Mặt cầu

ZUNIA12

Lời giải:

Báo sai

Ta có H là trực tâm tam giác ABC $ \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)$.

Thật vậy : $\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot AB$ (1)

Mà $CH \bot AB$ (vì H là trực tâm tam giác ABC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AB \bot \left( {OHC} \right) \Rightarrow AB \bot OH$ (*)

Tương tự $BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot OH$. (**)

Từ (*) và (**) suy ra $OH \bot \left( {ABC} \right)$.

Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có bán kính R = OH = 3.

Vậy mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9$.

Câu hỏi liên quan

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$, $R$ là bán kính mặt cầu có tâm $G$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( SAB \right)$. Đẳng thức nào sau đây sai?
Hình chóp tứ giác đều có trục đa giác đáy là đường thẳng
Ba đoạn thẳng SA,SB,SC đôi một vuông góc tạo với nhau thành một tứ diện SABC với SA = a,SB = 2a,SC = 3a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó là
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( { – 1\,;\,2\,;\,3} \right)$ và $B\left( {2\,;\,0\,;\, – 2} \right)$. Phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Ox và đi qua hai điểm A và $B có phương trình là
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A,AB = AC = a,AA' = acăn 2 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA'B'C' là:
Trong không gian Oxyz, phươngtrình mặt cầu (S) có tâm I(1; – 3;2) và qua điểm A(5; – 1;4) là
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( {2;0;0} \right), B\left( {0; – 3;0} \right)$ và $C\left( {0;0;6} \right)$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OABC là:
Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18π(dm³) . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích V của nước còn lại trong bình.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đáy bằng 3. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng (AMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (BCD). Gọi V₁, V₂ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN. Tính V₁ + V₂?
Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1, 2, 4. Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó.
Cho mặt cầu (S) có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 4z + 2 = 0$ và mặt phẳng (P):2x−3y+z−m=0. Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có giao nhau khi:
Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=AC=a,BC=\sqrt{3}a$. Cạnh bên $A{A}'=2a$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A{B}'{C}'C$ bằng
Cho mặt cầu có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 6z + 9 = 0$. Mặt cầu có tâm I và bán kính R là:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều và $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Trong không gian với hệ tọa độ ${\rm{Ox}}yz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}$ và mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I có phương trình $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 18$. Đường thẳng d cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm A,B. Tính diện tích tam giác IAB.
Khi cắt mặt cầu $S\left( O,\text{ }R \right)$ bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu $S\left( O,\text{ }R \right)$ nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết $R=1$, tính bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu $S\left( O,\text{ }R \right)$ để khối trụ có thể tích lớn nhất.
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp $S.ABCD$ có bán kính bằng:
Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;0; – 1} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {2;2; – 3} \right)$ là:
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và $AB=a.$ Cạnh bên $SA=a\sqrt{2}$, hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$ là:
Cho hình chóp đều (S.ABCD ) có cạnh đáy bằng a, cạnh bên b. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: