Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đáy bằng 3. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng (AMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (BCD). Gọi V1, V2 lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN. Tính V1 + V2?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Tứ diện ABCD đều, gọi H là tâm tam giác đều BCD ⇒AH⊥(BCD)
Có (AMN)⊥(BCD)⇒(AMN)⊃AH⇒H∈MN
\( \Rightarrow {V_{ABMN}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BMN}}\), với AH không đổi.
Dễ thấy diện tích tam giác BMN nhỏ nhất khi và chỉ khi tam giác BMN đều, khi đó MN // CD
\( \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC = 2 \Rightarrow {S_{BM{N_{\min }}}} = \frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \)
Diện tích tam giác BMN lớn nhất khi và chỉ khi N≡D hoặc M≡C , khi đó
\( {S_{BM{N_{\max }}}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}\frac{{{3^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{8}\)
Có
\(\begin{array}{l} BH = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ \Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}AH.{S_{BM{N_{{\rm{max}}}}}} = \frac{1}{3}\sqrt 6 .\frac{{9\sqrt 3 }}{8} = \frac{{9\sqrt 2 }}{8}}\\ {}&{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {V_2} = \frac{1}{3}AH.{S_{BM{N_{{\rm{min}}}}}} = \frac{1}{3}\sqrt 6 .\sqrt 3 = \sqrt 2 }\\ {}&{ \Rightarrow {V_1} + {V_2} = \frac{{17\sqrt 2 }}{8}} \end{array} \end{array}\)
