Số mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:

Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có nhiều hơn một điểm chung với mặt cầu (S) nếu:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) biết \(\left( S \right)\) có bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại điểm \(M\left( {1;2;0} \right)\).

Diện tích mặt cầu có bán kính \(R\) là

Cho một mặt cầu có diện tích là S, thể tích khối cầu đó là V. Tính bán kính R của mặt cầu.

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và \(AB=a.\) Cạnh bên \(SA=a\sqrt{2}\), hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) là:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):\,{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 25, \left( {{S_2}} \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y + 4z – 4 = 0\). Biết các tiếp tuyến chung của hai mặt cầu đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu đi qua điểm cố định \(M\left( {a;b;c} \right)\). Tính \({a^2} + bc\) bằng

Trong không gian Oxy, cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{y}{6} = \frac{{z – 1}}{2}\) và điểm \(I\left( {1; – 2;5} \right)\). Lập phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn \(AD=2a,\) \(AB=BC=CD=a.\) Cạnh bên \(SA=2a,\) và vuông góc với đáy. Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\). Tỉ số \(\frac{R}{a}\) nhận giá trị nào sau đây?

Cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 4z + 2 = 0\) và mặt phẳng (P):2x−3y+z−m=0. Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có giao nhau khi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) theo a là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng \((P): 2 x+2 y-z-3=0 \text { và điểm } I(1 ; 2-3)\) . Mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc mp(P) có phương trình: 

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 9\). Khối cầu \(\left( S \right)\) có thể tích bằng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại B và \(BC=a.\) Cạnh bên SA vuông góc với đáy \(\left( ABC \right)\). Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB và SC. Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.HKCB\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 4 = 0\) và hai điểm \(A(4;2;4),\,\,B(1;4;2)\). MN là dây cung của mặt cầu thỏa mãn \(\overrightarrow {MN}\) cùng hướng với \(\vec u = (0;1;1)\) và \(MN = 4\sqrt 2\). Tính giá trị lớn nhất của \(\left| {AM – BN} \right|\).

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) Có tâm \(I\), bán kính \(R=5\). Một đường thằng \(\Delta \) cắt \(\left( S \right)\) tại \(2\) điểm \(M\), \(N\) phân biệt nhưng không đi qua \(I\). Đặt \(MN=2m\). Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác \(IMN\) lớn nhất?

Mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình đa diện thì nó được gọi là:

Thể tích của khối cầu có bán kính 3a bằng

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(ABC\) và \(ABD\) là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) theo \(a.\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \({d_2}:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 9}}{3}\). Mặt cầu có một đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là:

Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?