Trong không gian Oxy, cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{y}{6} = \frac{{z – 1}}{2}\) và điểm \(I\left( {1; – 2;5} \right)\). Lập phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐường thẳng d đi qua \(M\left( {2;0;1} \right)\) và có một véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;6;2} \right)\).
Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d ta có \(IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) , với \(\overrightarrow {IM} = \left( {1;2; – 4} \right), \overrightarrow u = \left( {3;6;2} \right); IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {20} \).
Theo đề bài ta có tam giác IAB vuông cân tại I nên \(IA = IH\sqrt 2 = \sqrt {40} \).
Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x – 5} \right)^2} = 40\).
