Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right), B\left( {3;{\rm{ }}0; – 1} \right), C\left( {0;{\rm{ }}21; – 19} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\). \(M\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho biểu thức \(T = 3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\) có tâm \(I\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right)\)
Gọi \(G\left( {x;\,y;\,z} \right)\) là điểm thỏa \(3\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \), khi đó
\(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {0 – x} \right) + 2\left( {3 – x} \right) + \left( {0 – x} \right) = 0\\3\left( {1 – y} \right) + 2\left( {0 – y} \right) + \left( {21 – y} \right) = 0\\3\left( {1 – z} \right) + 2\left( { – 1 – z} \right) + \left( { – 19 – z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\\z = – 3\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1;{\rm{ }}4; – 3} \right)\)
Lúc này ta có:
\(\begin{array}{c}T = 3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\\ = 3M{G^2} + 6\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + 3G{A^2} + 2M{G^2} + 4\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + 2G{B^2} + M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + G{C^2}\\ = 6M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {3\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + 3G{A^2} + 2G{B^2} + G{C^2}\\ = 6M{G^2} + 3G{A^2} + 2G{B^2} + G{C^2}\end{array}\)
Vì \(3G{A^2} + 2G{B^2} + G{C^2}\) có giá trị là một số thực không đổi nên T đạt giá trị nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất. Kho đó M là một trong hai giao điểm của đường thẳng IG và mặt cầu \(\left( S \right)\).
Phương trình đường thẳng \(IG:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + 3t\\z = 1 – 4t\end{array} \right.\)
\(M = IG \cap \left( S \right)\) nên tọa độ M là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + 3t\\z = 1 – 4t\\{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{5}\\t = – \frac{1}{5}\end{array} \right.\). Khi đó: \(\left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {1;\,\frac{8}{5};\,\frac{1}{5}} \right)\\{M_2}\left( {1;\,\frac{2}{5};\,\frac{9}{5}} \right)\end{array} \right.\)
Vì \({M_1}G < {M_2}G\) nên điểm \(M \equiv {M_1}\left( {1;\,\frac{8}{5};\,\frac{1}{5}} \right)\)
Vậy \(a + b + c = \frac{{14}}{5}\).
Câu hỏi liên quan
-
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; – 3;2} \right)\) và đi qua \(A\left( {5; – 1;4} \right)\) có phương trình:
-
Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2,3,3,2(đơn vị độ dài) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng
-
Một mặt cầu có diện tích xung quanh là \(\pi \) thì có bán kính bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều và \(\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
-
Cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, M thuộc P. Chọn kết luận đúng”
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp \(S.ABCD\) có bán kính bằng:
-
Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60cm (tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu? (làm tròn đến hàng đơn vị)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC nhọn có \(H\left( {2;2;1} \right), K\left( { – \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\), O lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên các cạnh BC, AC, AB. Gọi I là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm A, đi qua điểm I là
-
Mặt cầu có đường kính là 10. Diện tích S của mặt cầu bằng
-
Thể tích của khối cầu có bán kính 3a bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;0;0} \right), B\left( {0; – 3;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;6} \right)\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OABC là:
-
Cho một tam giác vuông cân có các cạnh góc vuông có độ dài m. Tính diện tích S của mặt cầu sinh bởi đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó khi quay quanh cạnh huyền
-
Giá trị \(\alpha\) phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu: \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - {{\cos }^2}\alpha } \right)x + 4\left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} \right) + 2z + \cos 4\alpha + 8 = 0\)? \((k\in Z)\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, \(A(-3 ; 4 ; 2), B(-5 ; 6 ; 2), C(-10 ; 17 ;-7)\). Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB .
-
Công thức tính diện tích mặt cầu là:
-
Người ta thả một viên bi sắt có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên bi sắt đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong lòng cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên bi sắt đó bằng:
-
Một mặt cầu có bán kính bằng a. Diện tích của mặt cầu đó là:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 27\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0;\,0;\, – 4} \right), B\left( {2;\,0;\,0} \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khối nón đỉnh là tâm của \(\left( S \right)\) và đáy là là đường tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất. Biết rằng \(\left( \alpha \right):ax + by – z + c = 0\), khi đó a – b + c bằng
-
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( { – 1;1;0} \right){\rm{ }}?\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng \((P): 2 x+2 y-z-3=0 \text { và điểm } I(1 ; 2-3)\) . Mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc mp(P) có phương trình:
