Cho khối chóp$S.ABC$có $SA\bot (ABC)$; tam giác $ABC$ cân tại $A$,$AB=a$;$\widehat{BAC}=120{}^\circ$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB,SC$. Tính bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm $A,B,C,K,H$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{3}$ và ${d_2}:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 9}}{3}$. Mặt cầu có một đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của ${d_1}$ và ${d_2}$ có phương trình là:

Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một đường thẳng d. Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d. Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) nếu và chỉ nếu:

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính AB với $A\left( {2;1;1} \right), B\left( {0;3; – 1} \right)$ là:

Nếu một khối cầu có bán kính bằng R thì có thể tích bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 9$ và tam giác ABC với $A(5;0;0),\,\,B(0;3;0),\,\,C(4;5;0)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu (S) sao cho khối tứ diên MABC có thể tích lớn nhất.

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Tập hợp các điểm $M$ sao cho $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=2{{a}^{2}}$ là

Cho mặt cầu $S\left( O;R \right),A$ là một điểm ở trên mặt cầu $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng ${{60}^{0}}.$ Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại B, $AB=BC=a\sqrt{3},$ $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{0}}$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $a\sqrt{2}.$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ theo a.

Cho mặt cầu (S) có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 4z + 2 = 0$ và mặt phẳng (P):2x−3y+z−m=0. Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có giao nhau khi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm nào?

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm O, bán kính R và mặt phẳng $\left( P \right)$ có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt $\left( P \right)$ tại N. Hình chiếu của O trên $\left( P \right)$ là I. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 4z – m = 0$ có bán kính R = 5. Giá trị của tham số m bằng

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; – 3;2} \right)$ và đi qua $A\left( {5; – 1;4} \right)$ có phương trình:

Cho khối cầu có thể tích $V = 4\pi a^3 , (a > 0)$ bán kính R của khối cầu trên theo a là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm $A(1 ; 2 ; 3) \text { và } \mathrm{B}(-1 ; 4 ; 1)$ . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: 

Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?

Mặt cầu (S) có tâm $I(1 ; 2 ;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): x-2 y-2 z-8=0$ có phương trình là 

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu có phương trình ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 9$. Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu đó là

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh $SA = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$  . Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD