Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 9\) và tam giác ABC với \(A(5;0;0),\,\,B(0;3;0),\,\,C(4;5;0)\). Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu (S) sao cho khối tứ diên MABC có thể tích lớn nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKẻ \(MJ \bot \left( {ABC} \right)\), với \(J \in \left( {ABC} \right)\). Khi đó \({V_{M.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.MJ\).
Để \({V_{M.ABC}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow MJ\) lớn nhất \( \Leftrightarrow MJ\) đi qua tâm I của mặt cầu (S)
\(\Rightarrow M = IJ \cap \left( S \right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right): z = 0\)
Đường thẳng \(JI:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 3}\\{z = 5 + t}\end{array}} \right. \Rightarrow M\left( {2;3;5 + t} \right)\)
Vì \(M \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( {2 – 2} \right)^2} + {\left( {3 – 3} \right)^2} + {\left( {5 + t – 5} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow t = \pm 3\) ta được \({M_1}\left( {2;3;2} \right),{M_2}\left( {2;3;8} \right)\).
Do \(MJ = d\left( {{M_2},\left( {ABC} \right)} \right) > d\left( {{M_1},\left( {ABC} \right)} \right) \Rightarrow {M_2}\left( {2;3;8} \right)\) là điểm cần tìm.
