Trong không gian $Oxyz$, Cho mặt cầu $\left( S \right)3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y – 18z – 3 = 0$. Tâm của $(S)$ có tọa độ là

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:

Khẳng định nào sau đây là sai? Các hình chóp nào sau đây luôn có các đỉnh nằm trên một mặt cầu:

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A(1;0;1) và cắt mặt phẳng (P):x−y+z−1=0 với thiết diện là hình tròn có đường kính bằng 2.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\left( d \right):\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + y – 2z + 2 = 0$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng $\left( d \right)$, có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với $\left( P \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1; – 1;1} \right)$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là

Cho hình chóp $S.ABC$có $SA$vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right),\,\,SA=a,\,\,AB=a$,$AC=2a,$ $\widehat{BAC}={{60}^{0}}.$ Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu $p.$ Một mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là $\frac{p}{2}.$ Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ bằng:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1,\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {z^2} = 4$ và các điểm $A\left( {4;0;0} \right), B\left( {\frac{1}{4};0;0} \right), C\left( {1;4;0} \right), D\left( {4;4;0} \right)$. Gọi M là điểm thay đổi trên $\left( {{S_1}} \right)$, N là điểm thay đổi trên $\left( {{S_2}} \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = MA + 2ND + 4MN + 4BC là

Với điều kiện nào của m thì mặt phẳng cong sau là mặt cầu? 

$\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - m} \right)x - 3\left( {m + 1} \right)y - 2mz + 2{m^2} + 7 = 0$

Một nóc tòa nhà cao tầng có dạng hình nón. Người ta muốn xây một bể nước có dạng một hình trụ nội tiếp trong hình nón để chứa nước (như hình vẽ minh họa). Cho biết SO=h;OB=R;OH=x₀<x<h. Tìm thể tích lớn nhất của hình trụ.

Cho mặt phẳng $\left( P \right):2{\rm{x}} + 2y – 2{\rm{z}} + 15 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y – 2{\rm{z}} – 1 = 0.$ Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ đến một điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ là

Cho tứ diện $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$với $AB=3a$, $AC=4a$. Hình chiếu $H$ của $S$ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Biết $SA=2a$, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $2\sqrt2$. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3 Mặt phẳng $(\alpha)$ qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

Cho hình chóp đều (S.ABC ) có chiều cao bằng h và cạnh bên bằng b. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC nhọn có $H\left( {2;2;1} \right), K\left( { – \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)$, O lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên các cạnh BC, AC, AB. Gọi I là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tâm A, đi qua điểm I là

Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % thể tích hình hộp.

Cho hai quả cầu cùng bán kính là 5cm. Để đựng hai quả cầu Nam phải làm một hình hộp chữ nhật từ bìa carton. Hỏi trong các đáp án dưới đây, Nam cần ít nhất bao nhiêu xen-ti-mét vuông bìa carton để làm được chiếc hộp đó?

Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là

Trong không gian Oxyz, gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 1}}{4}$ và đi qua điểm $M\left( {0;3;9} \right)$. Biết điểm I có hoành độ là số nguyên và cách đều hai mặt phẳng x – 2y + 2z + 2 = 0, 3x – 2 = 0. Phương trình của $\left( S \right)$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1;\,2;\, – 4} \right)$ và thể tích của khối cầu tương ứng bằng $36\pi$?

Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=AC=a,BC=\sqrt{3}a$. Cạnh bên $A{A}'=2a$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A{B}'{C}'C$ bằng