Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1,\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {z^2} = 4$ và các điểm $A\left( {4;0;0} \right), B\left( {\frac{1}{4};0;0} \right), C\left( {1;4;0} \right), D\left( {4;4;0} \right)$. Gọi M là điểm thay đổi trên $\left( {{S_1}} \right)$, N là điểm thay đổi trên $\left( {{S_2}} \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = MA + 2ND + 4MN + 4BC là

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I(1;2;0). Một mặt phẳng (P) cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn $\left( C \right)$ Biết diện tích lớn nhất của $\left( C \right)$ bằng $3\pi .$ Phương trình của $\left( S \right)$ là

Mặt cầu tâm $I\left( { – 1;2;0} \right)$ đường kính bằng 10 có phương trình là:

Diện tích của mặt cầu có bán kính R bằng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp $S.ABCD$ có bán kính bằng:

Khối cầu bán kính R = 2a có thể tích là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình là ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 6z + 7 = 0$. Cho ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho. Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng?

Cho mặt cầu (S) có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z + 5 = 0$ và mặt phẳng (P):3x−2y+6z+m=0. (S) và (P) giao nhau khi

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} – \left( {2m – 2} \right)x + 3my + \left( {6m – 2} \right)z – 7 = 0$. Gọi R là bán kính của $\left( S \right)$, giá trị nhỏ nhất của R bằng:

Cho mặt cầu (S) tâm (O) bán kính 3cm. Điểm A nằm ngoài mặt cầu và cách O một khoảng bằng 5cm. Đường thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu, B là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng AB là:

Điều kiện để $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0$ là một mặt cầu là:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là điểm $I\left( {1\,;\, – 1\,;\,2} \right)$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right):2x – 2y + z + 3 = 0$ theo một đường tròn có bán kính bằng 4 có phương trình là

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; – 3;2} \right)$ và đi qua $A\left( {5; – 1;4} \right)$ có phương trình:

Cho hai điểm $A\left( {2, - 3, - 1} \right);\,\,\,B\left( { - 4,5, - 3} \right)$. Định k để tập hợp các điểm M(x;y;z) sao cho $A{M^2} + B{M^2} = 2\left( {{k^2} + 1} \right),\,\,k \in {R^ + }$ là một mặt cầu

Khối cầu có thể tích $\frac{{32\pi {a^3}}}{3}$ thì bán kính bằng:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại B, $AB=BC=a\sqrt{3},$ $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{0}}$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $A\sqrt{2}.$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ theo a.

Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem đóng băng có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng bán kính hình cầu. Biết rằng khi kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy ốc quế và thể tích phần kem sau khi tan chảy bằng 75% thể tích phần kem đóng băng. Tỷ số giữa chiều cao và bán kính đường tròn đáy của hình nón bằng:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{y}{6} = \frac{{z – 1}}{2}$ và điểm $I\left( {1; – 2;5} \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 9$ và tam giác ABC với $A(5;0;0),\,\,B(0;3;0),\,\,C(4;5;0)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu (S) sao cho khối tứ diên MABC có thể tích lớn nhất.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a.$ Đường thẳng $SA$ vuông góc đáy $\left( ABCD \right).$ Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng $SB.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $HBCD$ có giá trị nào sau đây?

Phương trình mặt cầu (S) đi qua $A(1;2; – 4),{\rm{ }}B(1; – 3;1),{\rm{ }}C(2;2;3)$ và tâm $I \in (Oxy)$ là.