Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1,\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {z^2} = 4$ và các điểm $A\left( {4;0;0} \right), B\left( {\frac{1}{4};0;0} \right), C\left( {1;4;0} \right), D\left( {4;4;0} \right)$. Gọi M là điểm thay đổi trên $\left( {{S_1}} \right)$, N là điểm thay đổi trên $\left( {{S_2}} \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = MA + 2ND + 4MN + 4BC là

Giá trị $\alpha$ phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu: $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - {{\cos }^2}\alpha } \right)x + 4\left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} \right) + 2z + \cos 4\alpha + 8 = 0$? $(k\in Z)$

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.  Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh  của hình lập phương.

Cho tứ diện $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$với $AB=3a$, $AC=4a$. Hình chiếu $H$ của $S$ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Biết $SA=2a$, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là

Cho mặt cầu S(O; R) và điểm A cố định với OA = d. Qua A, kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại M. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 4 = 0$ và hai điểm $A(4;2;4),\,\,B(1;4;2)$. MN là dây cung của mặt cầu thỏa mãn $\overrightarrow {MN}$ cùng hướng với $\vec u = (0;1;1)$ và $MN = 4\sqrt 2$. Tính giá trị lớn nhất của $\left| {AM – BN} \right|$.

Cho mặt phẳng $\left( P \right):2{\rm{x}} + 2y – 2{\rm{z}} + 15 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y – 2{\rm{z}} – 1 = 0.$ Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ đến một điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ là

Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O cách Δ một khoảng bằng 20cm. Mặt cầu (S) tâm O cắt đường thẳng Δ theo một dây có độ dài 30cm có bán kính r bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA vuông góc (ABCD)  và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và $AB = 2, AC = 4,SA = \sqrt5$Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp (S.ABC ) có bán kính là

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A,AB = AC = a,AA' = acăn 2 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA'B'C' là:

Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (α). Biết khoảng cách từ O tới (α) bằng d. Nếu d < R thì giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt cầu S(O;R) là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính AB với $A\left( {2;1;1} \right), B\left( {0;3; – 1} \right)$ là:

Trong không gian $Oxyz$, Cho mặt cầu $\left( S \right)3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y – 18z – 3 = 0$. Tâm của $(S)$ có tọa độ là

Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là  18π(dm³)  . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích V của nước còn  lại trong bình.

Cho $I\left( {1; – 2;3} \right)$. Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho $AB = 2\sqrt 3$.

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a,AB = b,AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng :

Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B  và BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB bằng

Hình nào sau đây không có mặt cầu ngoại tiếp?

Diện tích của mặt cầu bán kính R = 3 bằng