Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right),\,\,SA=a,\,\,AB=a\),\(AC=2a,\) \(\widehat{BAC}={{60}^{0}}.\) Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), \(d\)là đường thẳng đi qua \(H\)và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(SA\), \(O\) là giao điểm của\(d\)và \(\left( \alpha \right)\). Khi đó \(O\) là tâm của hình cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
Theo định lí hàm số cosin ta có :
\(\begin{align} & BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.cos\widehat{BAC}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}-2a.2a.\cos {{60}^{0}}}=a\sqrt{3} \\ \end{align}\)
Diện tích tam giác \(ABC\):
\({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC.sin\widehat{BAC}=\frac{{{a}^{2}}.\sqrt{3}}{2}\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\):
\(AH=\frac{AB.BC.AC}{4.{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{a.2a.a\sqrt{3}}{4.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=a\)
Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp\(S.ABC\):
\(R=OA=\sqrt{A{{H}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\)
\(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}\)
