Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y + z – {m^2} – 3m = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 9$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$.

Số mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right): {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 4z – 16 = 0$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính r. Khi đó, giá trị của biểu thức L = a + b + c + r bằng

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đáy bằng 3. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng (AMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (BCD). Gọi V₁, V₂ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN. Tính V₁ + V_­­­2?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$, $R$ là bán kính mặt cầu có tâm $G$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( SAB \right)$. Đẳng thức nào sau đây sai?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a.$ Đường thẳng $SA=a\sqrt{2}$ vuông góc với đáy $\left( ABCD \right).$ Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt $SB,SD$ lần lượt tại $E,F.$ Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm $S,A,E,M,F$ nhận giá trị nào sau đây?

Biết rằng đường thẳng d: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = t\\ z = - 1 - t \end{array} \right.$ là tiếp tuyến của mặt cầu tâm I(0;0;1). Bán kính R của mặt cầu đó là

Hình lập phương có mấy mặt cầu ngoại tiếp?

Cho khối cầu có thể tích $V=4 \pi a^{3}(a>0)$. Tính theo a bán kính của khối cầu.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC nhọn có $H\left( {2;2;1} \right), K\left( { – \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)$, O lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên các cạnh BC, AC, AB. Gọi I là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tâm A, đi qua điểm I là

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp $S.ABCD$ có bán kính bằng:

Viết phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và đi qua giao điểm của đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 – t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ .

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot \left( ABC \right)$, $AC=b$, $AB=c$, $\widehat{BAC}=\alpha$. Gọi ${B}'$, ${C}'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$, $SC$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BC{C}'{B}'$ theo $b$, $c$, $\alpha .$

Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC$ và $ABD$ là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ theo $a.$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 4$ có tâm I và bán kính R lần lượt là

Một nóc tòa nhà cao tầng có dạng hình nón. Người ta muốn xây một bể nước có dạng một hình trụ nội tiếp trong hình nón để chứa nước (như hình vẽ minh họa). Cho biết SO=h;OB=R;OH=x₀<x<h. Tìm thể tích lớn nhất của hình trụ.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) theo a là:

Cho khối cầu có thể tích $V = 4\pi a^3 , (a > 0)$ bán kính R của khối cầu trên theo a là:

Cho hình lăng trụ đứng (ABC.A'B'C' ) có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $AB = a\sqrt 3, BC = 2a$, đường thẳng AC' tạo với mặt phẳng (BCC'B') một góc 30⁰. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:

Cho khối cầu có bán kính R = 6. Thể tích của khối cầu bằng