Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a.$ Đường thẳng $SA=a\sqrt{2}$ vuông góc với đáy $\left( ABCD \right).$ Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt $SB,SD$ lần lượt tại $E,F.$ Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm $S,A,E,M,F$ nhận giá trị nào sau đây?

Trong không gian Oxyz, gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 1}}{4}$ và đi qua điểm $M\left( {0;3;9} \right)$. Biết điểm I có hoành độ là số nguyên và cách đều hai mặt phẳng x – 2y + 2z + 2 = 0, 3x – 2 = 0. Phương trình của $\left( S \right)$ là:

Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có điểm chung nếu và chỉ nếu:

Cho khối chóp$S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $B,$ biết $AB=1$;$AC=\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, biết $SM\bot (ABC)$. Tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện $SMAB$ và $SMAC$ bằng $15\pi$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là:

Một cái ly có dạng hình nón như sau

Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước bằng 1/2 chiều cao của ly (tính từ đỉnh nón đến miệng ly). Nếu bịt kín miệng ly rồi lộn ngược ly lên thì tỷ lệ chiều cao của nước và chiều cao của ly bằng bao nhiêu?

Cho khối cầu có bán kính R = 6. Thể tích của khối cầu bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 9$ và tam giác ABC với $A(5;0;0),\,\,B(0;3;0),\,\,C(4;5;0)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu (S) sao cho khối tứ diên MABC có thể tích lớn nhất.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có đường kính AB với $A\left( {2;1;1} \right), B\left( {0;3; – 1} \right)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 6z + 9 = 0$. Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu là

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là

Cho một tam giác vuông cân có các cạnh góc vuông có độ dài m. Tính diện tích S của mặt cầu sinh bởi đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó khi quay quanh cạnh huyền

Cho khối cầu có thể tích là $36\pi$ . Diện tích mặt cầu đã cho bằng

Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}},$, trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2 là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp bốn mặt hình vuông của chiếc hộp.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=2a,AD=a.$ Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng ${{45}^{0}}.$ Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp $S.ABCD$ và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $N.ABC.$ Biểu thức liên hệ giữa R và $h$ là:

Một nóc tòa nhà cao tầng có dạng hình nón. Người ta muốn xây một bể nước có dạng một hình trụ nội tiếp trong hình nón để chứa nước (như hình vẽ minh họa). Cho biết SO=h;OB=R;OH=x₀<x<h. Tìm thể tích lớn nhất của hình trụ.

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $\frac{a\sqrt{21}}{6}$. Gọi $h$ là chiều cao của khối chóp và $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số $\frac{R}{h}$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I thuộc đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2}$. Biết rằng mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính bằng $2\sqrt 2$ và cắt mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tọa độ của điểm I.

Cho mặt cầu có bán kính R = 3. Diện tích mặt cầu đã cho bằng:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Mặt phẳng $\left( AB'C' \right)$ tạo với mặt đáy góc ${{60}^{0}}$ và điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $G.A'B'C'$ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $H\left( {1;\,2;\, – 2} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.