Cho khối chóp\(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,\) biết \(AB=1\);\(AC=\sqrt{3}\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), biết \(SM\bot (ABC)\). Tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện \(SMAB\) và \(SMAC\) bằng \(15\pi \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Dễ kiểm tra được \(BC=2a\) và tam giác \(MAB\) đều cạnh \(a\). Đặt \(SM=h\).
Gọi \({{R}_{1}},\,{{R}_{2}}\) và \(R\) lần lượt là bán kính các mặt cầu ngoại tiếp của các hình \(SMAB\), \(SMAC\) và \(S.ABC\).
Gọi \({{r}_{1}},\,{{r}_{2}}\) và \(r\) lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \(MAB\), \(MAC\) và \(ABC\).
Ta có: \({{r}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) và \({{r}_{2}}=\frac{AC}{2.\sin 120{}^\circ }=1\).
Vì \(SA\bot (MAB)\), \(SA\bot (MAC)\) nên dễ kiểm tra được:
\(R_{1}^{2}={{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}+r_{1}^{2}=\frac{{{h}^{2}}}{4}+\frac{3}{4}\) và \(R_{2}^{2}={{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}+r_{2}^{2}=\frac{{{h}^{2}}}{4}+1\).
Theo giả thiết tổng diện tích các mặt cầu thì: \(4\pi \left( R_{1}^{2}+R_{2}^{2} \right)=15\pi \)
Suy ra: \(\frac{{{h}^{2}}}{4}+\frac{3}{4}+\frac{{{h}^{2}}}{4}+1=\frac{15}{4}\). Từ đây tìm được \(h=2\).
Dựng trung trực của \(SC\), cắt \(SM\) tại \(I\) thì \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp của \(S.ABC\).
Dễ kiểm tra \(SI.SM=SN.SC\), suy ra \(R=SI=\frac{SN.SC}{SM}=\frac{5}{4}\).
Vậy thì diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp\(S.ABC\)là \(S=4\pi {{\left( \frac{5}{4} \right)}^{2}}=\frac{25\pi }{4}\).
