Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = AB = 2AD = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu tâm B cắt SC theo một dây có độ dài 2a là:

Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (α). Gọi d là khoảng cách từ O tới (α). Khi d<R thì mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng:

Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có nhiều hơn một điểm chung với mặt cầu (S) nếu:

Đường kính của một khối cầu bằng cạnh của một khối lập phương. Gọi V₁ là thể tích khối lập phương, V₂ là thể tích khối cầu. Tính tỉ số \( \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)

Cho mặt cầu S(O; R) và điểm A cố định với OA = d. Qua A, kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại M. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM?

Cho tứ diện \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\)với \(AB=3a\), \(AC=4a\). Hình chiếu \(H\) của \(S\) trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Biết \(SA=2a\), bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 9\). Khối cầu \(\left( S \right)\) có thể tích bằng

Diện tích của mặt cầu bán kính R = 3 bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1,\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {z^2} = 4\) và các điểm \(A\left( {4;0;0} \right), B\left( {\frac{1}{4};0;0} \right), C\left( {1;4;0} \right), D\left( {4;4;0} \right)\). Gọi M là điểm thay đổi trên \(\left( {{S_1}} \right)\), N là điểm thay đổi trên \(\left( {{S_2}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = MA + 2ND + 4MN + 4BC là

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {0; – 1;2} \right), B\left( {2; – 3;0} \right), C\left( { – 2;1;1} \right), D\left( {0; – 1;3} \right)\). Gọi \(\left( L \right)\) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1\). Biết rằng \(\left( L \right)\) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp đều (S.ABC ) có chiều cao bằng h và cạnh bên bằng b. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng

Cho khối chóp\(S.ABC\)có \(SA\bot (ABC)\); tam giác \(ABC\) cân tại \(A\),\(AB=a\);\(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(SB,SC\). Tính bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm \(A,B,C,K,H\).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA vuông góc (ABCD)  và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho \(A(1 ; 1 ; 3), \mathrm{B}(-1 ; 3 ; 2), \mathrm{C}(-1 ; 2 ; 3)\) . Mặt cầu tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (ABC) có bán kính R là 

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 9\). Tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu đó là

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Mặt phẳng \(\left( AB'C' \right)\) tạo với mặt đáy góc \({{60}^{0}}\) và điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(G.A'B'C'\) bằng:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 4\). Gọi \(N\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thuộc \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) lớn nhất. Giá trị của biểu thức \(P = {x_0} + {y_0} + {z_0}\) bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2z + \frac{9}{2} = 0\) và hai điểm \(A\left( {0;2;0} \right), B\left( {2; – 6; – 2} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) có giá trị nhỏ nhất. Tổng a + b + c bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) theo a là:

Cho hai khối cầu có bán kính lần lượt bằng a và 2a. Tỉ số thể tích của khối cầu nhỏ với thể tích của khối cầu lớn bằng:

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I(1;2;0). Một mặt phẳng (P) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn \(\left( C \right)\) Biết diện tích lớn nhất của \(\left( C \right)\) bằng \(3\pi .\) Phương trình của \(\left( S \right)\) là