Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\) và hình nón \(\left( H \right)\) có đỉnh \(A\left( {3;2; – 2} \right)\) và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón \(\left( H \right)\) cắt mặt cầu tại \(M,{\rm{ }}N\) sao cho AM = 3AN. Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu \(\left( S \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \(\left( H \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi hình chiếu vuông góc của I trên MN là K.
Dễ thấy \(AN = NK = \frac{1}{3}AM\), mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính R = 5
Có \(AM.AN = A{I^2} – {R^2} = 4 \Rightarrow A{N^2} = \frac{4}{3} \Rightarrow KN = AN = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow IK = \sqrt {I{N^2} – K{N^2}} = \frac{{\sqrt {213} }}{3}\).
Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu \(\left( S \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \(\left( H \right)\) chính là mặt cầu tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) có bán kính \(IK = \frac{{\sqrt {213} }}{3}\)
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}\).
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):\,{(x – 1)^2} + (y – 2){}^2 + {(z + 1)^2} = 9\) và hai điểm \(A(4\,;\,3\,;\,1), B(3\,;\,1\,;\,3); M\) là điểm thay đổi trên (S). Gọi \(m,\,n\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2M{A^2} – M{B^2}\). Xác định m – n.
-
Một mặt cầu có diện tích \(16{\rm{\pi }}\) thì bán kính mặt cầu bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right),\,\,SA=2a\), tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\,BC=2a\sqrt{2}\), \(\cos \widehat{ACB}=\frac{1}{3}.\) Tính diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC.\)
-
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, cạnh bên 2a. Tìm bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.
-
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right): {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 4z – 16 = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính r. Khi đó, giá trị của biểu thức L = a + b + c + r bằng
-
Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ bằng bê tông với chiều cao 100cm, độ dày của thành ống là 10cm và đường kính của ống là 50cm. Lượng bê tông cần phải đổ là:
-
Giá trị \(\alpha\) phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu: \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - {{\cos }^2}\alpha } \right)x + 4\left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} \right) + 2z + \cos 4\alpha + 8 = 0\)? \((k\in Z)\)
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z – {m^2} – 3m = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 9\). Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\).
-
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;0; – 1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {2;2; – 3} \right)\) là:
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đáy bằng 3. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng (AMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (BCD). Gọi V1, V2 lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN. Tính V1 + V2?
-
Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60cm (tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu? (làm tròn đến hàng đơn vị)
-
Cho khối cầu có thể tích là \(36\pi\) . Diện tích mặt cầu đã cho bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {5;1; – 1} \right), B\left( {14; – 3;3} \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;2;2} \right)\). Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A và B lên \(\Delta \). Mặt cầu đi qua hai điểm C, D có diện tích nhỏ nhất là
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và thể tích bằng \(\frac{{256\pi }}{3}\). Phương trình của \(\left( S \right)\) là:
-
Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right),\,\,SA=a,\,\,AB=a\),\(AC=2a,\) \(\widehat{BAC}={{60}^{0}}.\) Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 4\) có tâm I và bán kính R lần lượt là
-
Một chiếc kem gồm hai phần: phần phía dưới là một khối nón có chiều cao gấp đôi bán kính đáy; phần phía trên là một nửa khối cầu có đường kính bằng đường kính đáy của khối nón bên dưới. Thể tích phần kem phía trên bằng 200cm3 , thể tích của cả chiếc kem đã cho bằng:
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), cạnh huyền \(BC=6\,\,\left( cm \right)\), các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc \(60{}^\circ \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là
-
Thể tích của khối cầu có bán kính 3a bằng
