Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 4 = 0\) và hai điểm \(A(4;2;4),\,\,B(1;4;2)\). MN là dây cung của mặt cầu thỏa mãn \(\overrightarrow {MN}\) cùng hướng với \(\vec u = (0;1;1)\) và \(MN = 4\sqrt 2\). Tính giá trị lớn nhất của \(\left| {AM – BN} \right|\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png.jpg.png)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I(1;2;0), bán kính R = 3.
Ta có \(\overrightarrow {IA} = (3;0;4) \Rightarrow IA = 5, \overrightarrow {IB} = (0;2;2) \Rightarrow IB = 2\sqrt 2 \) nên điểm A(4;2;4) nằm ngoài mặt cầu (S) và điểm B(1;4;2) nằm trong mặt cầu (S).
Do \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \(\vec u = (0;1;1)\) suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;k;k} \right),\,k > 0\) do \(MN = 4\sqrt 2 \) suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;4;4} \right)\).
Gọi \(A’ = {T_{\overrightarrow {MN} }}(A)\), suy ra A’ = (4;6;8). Khi đó AMNA’ là hình bình hành nên AM = A’N
Ta có \(\left| {AM – BN} \right| = \left| {A’N – BN} \right| \le A’B\), dấu bằng xảy ra khi \(A’,\,\,N,\,\,B\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow N\) là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng A’B (Điểm N luôn tồn tại).
\(\overrightarrow {A’B} = ( – 3; – 2; – 6)\) suy ra \(A’B = \sqrt {{{( – 3)}^2} + {{( – 2)}^2} + {{( – 6)}^2}} = 7\). Vậy \({\left| {AM – BN} \right|_{\min }} = A’B = 7\)
