Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 5, AB = 3, BC = 4. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi M là trung điểm của AC. Vì tam giác ABC vuông tại B nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Qua M dựng đường thẳng d∥SA,d∩SC={I}, khi đó ta có IA=IB=IC(1)
Xét tam giác SAC có: M là trung điểm AC, MI∥SA ⇒I là trung điểm của SC (định lí đường trung bình của tam giác).
Mà ΔSAC vuông tại C nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔSAC ⇒IA=IC=IS(2)
Từ (1) và (2) ⇒IA=IB=IC=IS ⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC, khối cầu này có bán kính R=IA
Ta có \( IM = \frac{1}{2}SA = \frac{5}{2},AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{3^2} + {4^2}} = \frac{5}{2}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AIM có:
\( R = IA = \sqrt {A{M^2} + I{M^2}} = \sqrt {\frac{{25}}{4} + \frac{{25}}{4}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)
