Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều và \(\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Khi cắt mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết \(R=1\), tính bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) để khối trụ có thể tích lớn nhất.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(2\sqrt2\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3 Mặt phẳng \((\alpha)\) qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 9\). Tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu đó là

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right),\,\,SA=2a\), tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\,BC=2a\sqrt{2}\), \(\cos \widehat{ACB}=\frac{1}{3}.\) Tính diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC.\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a.\) Đường thẳng \(SA\) vuông góc đáy \(\left( ABCD \right).\) Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng \(SB.\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(HBCD\) có giá trị nào sau đây?

Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó

Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong sau là mặt cầu: \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {2 - \ln t} \right)x + 4\ln t.y + 2\left( {\ln t + 1} \right)z + 5{\ln ^2}t + 8 = 0\)

Cho hai quả cầu cùng bán kính là 5cm. Để đựng hai quả cầu Nam phải làm một hình hộp chữ nhật từ bìa carton. Hỏi trong các đáp án dưới đây, Nam cần ít nhất bao nhiêu xen-ti-mét vuông bìa carton để làm được chiếc hộp đó?

Cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 4z + 2 = 0\) và mặt phẳng (P):2x−3y+z−m=0. Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có giao nhau khi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng \((P): 2 x+2 y-z-3=0 \text { và điểm } I(1 ; 2-3)\) . Mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc mp(P) có phương trình: 

Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (α). Biết khoảng cách từ O tới (α) bằng d. Nếu d < R thì giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt cầu S(O;R) là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Một cái ly có dạng hình nón như sau

Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước bằng 1/2 chiều cao của ly (tính từ đỉnh nón đến miệng ly). Nếu bịt kín miệng ly rồi lộn ngược ly lên thì tỷ lệ chiều cao của nước và chiều cao của ly bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB=2a,AD=a.\) Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng \({{45}^{0}}.\) Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp \(S.ABCD\) và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(N.ABC.\) Biểu thức liên hệ giữa R và \(h\) là:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho \(A(1 ; 1 ; 3), \mathrm{B}(-1 ; 3 ; 2), \mathrm{C}(-1 ; 2 ; 3)\) . Mặt cầu tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (ABC) có bán kính R là 

Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;\,0;\, – 2} \right)\), bán kính r = 4?

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I(1;2;0). Một mặt phẳng (P) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn \(\left( C \right)\) Biết diện tích lớn nhất của \(\left( C \right)\) bằng \(3\pi .\) Phương trình của \(\left( S \right)\) là

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {0; – 1;2} \right), B\left( {2; – 3;0} \right), C\left( { – 2;1;1} \right), D\left( {0; – 1;3} \right)\). Gọi \(\left( L \right)\) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1\). Biết rằng \(\left( L \right)\) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; – 4} \right)\) và diện tích bằng \(36\pi \). Phương trình của \(\left( S \right)\) là:

Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) , biết khoảng cách từ tâm của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng a . Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi \(2\sqrt 3 \pi a\) . Diện tích mặt cầu (S) bằng bao nhiêu?

Trong không gian mặt cầu có tâm là gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {0;0;2} \right)\) có phương trình là