Giá trị \(\alpha\) phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu: \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - {{\cos }^2}\alpha } \right)x + 4\left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} \right) + 2z + \cos 4\alpha + 8 = 0\)? \((k\in Z)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(a = 2{\cos ^2}\alpha - 3 = \cos 2\alpha - 2;\,b = 2\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) = \cos 2\alpha + 1;c = - 1;\)
\(d = \cos 4\alpha + 8 = 2{\cos ^2}2\alpha + 7.\,\,\left( S \right)\) là mặt cầu \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 1 + \cos 2\alpha < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi < 2\alpha < \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} + k\pi < \alpha < \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,\,\,k \in Z \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 4 = 0\) và hai điểm \(A(4;2;4),\,\,B(1;4;2)\). MN là dây cung của mặt cầu thỏa mãn \(\overrightarrow {MN}\) cùng hướng với \(\vec u = (0;1;1)\) và \(MN = 4\sqrt 2\). Tính giá trị lớn nhất của \(\left| {AM – BN} \right|\).
-
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều nằm ở đâu?
-
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):\,{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 25, \left( {{S_2}} \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y + 4z – 4 = 0\). Biết các tiếp tuyến chung của hai mặt cầu đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu đi qua điểm cố định \(M\left( {a;b;c} \right)\). Tính \({a^2} + bc\) bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 9\). Khối cầu \(\left( S \right)\) có thể tích bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là trung điểm \(H\) của cạnh \(BC\). Góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAC\), \(R\) là bán kính mặt cầu có tâm \(G\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( SAB \right)\). Đẳng thức nào sau đây sai?
-
Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu \(p.\) Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là \(\frac{p}{2}.\) Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = AB = 2AD = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu tâm B cắt SC theo một dây có độ dài 2a là:
-
Cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, M thuộc P. Chọn kết luận đúng”
-
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính AB với \(A\left( {2;1;1} \right), B\left( {0;3; – 1} \right)\) là:
-
Một mặt cầu có diện tích xung quanh là \(\pi \) thì có bán kính bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right),\,\,SA=a,\,\,AB=a\),\(AC=2a,\) \(\widehat{BAC}={{60}^{0}}.\) Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
-
Một nóc tòa nhà cao tầng có dạng hình nón. Người ta muốn xây một bể nước có dạng một hình trụ nội tiếp trong hình nón để chứa nước (như hình vẽ minh họa). Cho biết SO=h;OB=R;OH=x0<x<h. Tìm thể tích lớn nhất của hình trụ.
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và \(AB = 2, AC = 4,SA = \sqrt5\)Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp (S.ABC ) có bán kính là
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) Có tâm \(I\), bán kính \(R=5\). Một đường thằng \(\Delta \) cắt \(\left( S \right)\) tại \(2\) điểm \(M\), \(N\) phân biệt nhưng không đi qua \(I\). Đặt \(MN=2m\). Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác \(IMN\) lớn nhất?
-
Cho điểm \(I\left( {1;7;5} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 6}}{{ – 1}} = \frac{z}{3}\). Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng \(2\sqrt {6015} \) là
-
Thể tích của khối cầu bán kính a bằng
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên hợp với mặt đáy một góc \({{60}^{0}}\). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\) là:
-
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một đường thẳng d. Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d. Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) nếu và chỉ nếu:
-
Đường kính của một khối cầu bằng cạnh của một khối lập phương. Gọi V1 là thể tích khối lập phương, V2 là thể tích khối cầu. Tính tỉ số \( \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là điểm \(I\left( {1\,;\, – 1\,;\,2} \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x – 2y + z + 3 = 0\) theo một đường tròn có bán kính bằng 4 có phương trình là
