Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại B có cạnh AB = 3 , BC = 4 và góc giữa DC và mặt phẳng (ABC) bằng 45⁰. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

A. $ V = \frac{{125\sqrt 3 }}{3}\pi $

B. $ V = \frac{{25\sqrt 3 }}{3}\pi $

C. $ V = \frac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi $

D. $ V = \frac{{125\sqrt 3 }}{2}\pi $

Sai C là đáp án đúng Xem lời giải

Chính xác Xem lời giải

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Bài: Mặt cầu

ZUNIA12

Lời giải:

Báo sai

Ta có :

$\left\{ \begin{array}{l} BC \bot BA\\ BC \bot DA \end{array} \right. \to BC \bot (ABD) \to BC \bot BD$ ⇒ ΔBCD vuông tại B.

Gọi I là trung điểm của CD thì $ IB = IC = ID = \frac{1}{2}CD$

Do đó $IA=IB=IC=ID⇒$ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Tam giác ABC vuông tại B nên $ AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$ (Định lí Pytago).

Vì DA⊥(ABC) nên AC là hình chiếu của DC lên (ABC).

$ \Rightarrow \angle \left( {DC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {DC;AC} \right) = \angle DCA = {45^0}$

Tam giác DAC vuông tại A có $ \widehat {DCA} = {45^0}$ nên là tam giác vuông cân $\begin{array}{l} \Rightarrow DC = AC\sqrt 2 = 5\sqrt 2 \\ \Rightarrow R = IA = \frac{1}{2}DC = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \end{array}$

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :

$ V = \frac{4}{3}\pi I{A^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi $

Câu hỏi liên quan

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 6z + 9 = 0$. Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu là
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( { – 1\,;\,2\,;\,3} \right)$ và $B\left( {2\,;\,0\,;\, – 2} \right)$. Phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Ox và đi qua hai điểm A và $B có phương trình là
Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60cm (tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu? (làm tròn đến hàng đơn vị)
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y + z – {m^2} – 3m = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 9$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 4 = 0$ và hai điểm $A(4;2;4),\,\,B(1;4;2)$. MN là dây cung của mặt cầu thỏa mãn $\overrightarrow {MN}$ cùng hướng với $\vec u = (0;1;1)$ và $MN = 4\sqrt 2$. Tính giá trị lớn nhất của $\left| {AM – BN} \right|$.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a. SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SB và đáy là 45o. Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y – 1 = 0$. Trong các điểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$?
Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5 ,cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4 ,cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5 ,cm. Bán kính của viên billiards đó bằng
Mặt cầu (S) có tâm $I(1 ; 2 ;-1) $ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): x-2 y-2 z-8=0$ có phương trình là
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot \left( ABC \right)$, $AB=1$, $AC=2$ và $\widehat{BAC}=60{}^\circ .$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$, $SC$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu đi qua các điểm $A$, $B$, $C$, $M$, $N$.
Cho một tam giác vuông cân có các cạnh góc vuông có độ dài m. Tính diện tích S của mặt cầu sinh bởi đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó khi quay quanh cạnh huyền
Cho hai khối cầu S₁, S₂ có cùng bán kính 2 thỏa mãn tính chất: tâm của S₁ thuộc S₂ và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi S₁và S₂
Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc (ABC), ABC là tam giác vuông tại B. Biết $BC = a, AB = a\sqrt 3 , AD = 3a$. Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại B, $AB=BC=a\sqrt{3},$ $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{0}}$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $A\sqrt{2}.$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ theo a.
Một cái ly có dạng hình nón như sau

Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước bằng 1/2 chiều cao của ly (tính từ đỉnh nón đến miệng ly). Nếu bịt kín miệng ly rồi lộn ngược ly lên thì tỷ lệ chiều cao của nước và chiều cao của ly bằng bao nhiêu?
Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1;\,2;\, – 4} \right)$ và thể tích của khối cầu tương ứng bằng $36\pi $?
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm $I(2 ; 1 ;-4)$ và mặt phẳng $(P): x+y-2 z+1=0$ . Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu (S).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I(1 ; 2 ;-4)$ và thể tích của khối cầu tương ứng bằng $36\pi$ là:
Cho khối chóp$S.ABCD$có $SA\bot (ABCD)$; đáy$ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ với$AB=BC=a;$$AD=2a$; $SA=a$. Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ECD$.