Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {5;1; – 1} \right), B\left( {14; – 3;3} \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;2;2} \right)\). Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A và B lên \(\Delta \). Mặt cầu đi qua hai điểm C, D có diện tích nhỏ nhất là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ A dựng đường thẳng d song song với \(\Delta \). Gọi E là hình chiếu vuông góc của B trên d nên CD = AE và AE không đổi.
Gọi R là bán kính mặt cầu đi qua hai điểm C, D\( \Rightarrow CD \le 2R \Rightarrow R \ge \frac{{CD}}{2} = \frac{{AE}}{2}\)
Ta có \({S_c} = 4{\rm{\pi }}{R^2} \ge 4{\rm{\pi }}\frac{{A{E^2}}}{4} = A{E^2}.{\rm{\pi }}\).
Diện tích mặt cầu nhỏ nhất là \({S_c} = A{E^2}{\rm{\pi }}\).
\(AE = AB.\cos \varphi \) với \(\varphi = \widehat {\left( {d,AB} \right)}\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {9; – 4;4} \right), AB = \sqrt {{9^2} + {4^2} + {4^2}} = \sqrt {113} \).
\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right)} \right| = \left| {\frac{{\overrightarrow {AB} .\vec u}}{{AB.\left| {\vec u} \right|}}} \right| = \frac{3}{{\sqrt {113} }} \Rightarrow AE = \sqrt {113} .\frac{3}{{\sqrt {113} }} = 3\)
Diện tích nhỏ nhất mặt cầu là \({S_c} = 9{\rm{\pi }}\)
