Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu $\left( {{S_1}} \right):\,{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 25, \left( {{S_2}} \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y + 4z – 4 = 0$. Biết các tiếp tuyến chung của hai mặt cầu đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu đi qua điểm cố định $M\left( {a;b;c} \right)$. Tính ${a^2} + bc$ bằng

Số mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, cạnh huyền $BC=6\,\,\left( cm \right)$, các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc $60{}^\circ$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là

Cho mặt cầu $S\left( O;R \right),A$ là một điểm ở trên mặt cầu $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng ${{60}^{0}}.$ Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

Cho hai quả cầu cùng bán kính là 5cm. Để đựng hai quả cầu Nam phải làm một hình hộp chữ nhật từ bìa carton. Hỏi trong các đáp án dưới đây, Nam cần ít nhất bao nhiêu xen-ti-mét vuông bìa carton để làm được chiếc hộp đó?

Giá trị $\alpha$ phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu: $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - {{\cos }^2}\alpha } \right)x + 4\left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} \right) + 2z + \cos 4\alpha + 8 = 0$? $(k\in Z)$

Khối cầu thể tích bằng $36\pi$. Bán kính của khối cầu là

Viết phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và đi qua giao điểm của đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 – t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ .

Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) , biết khoảng cách từ tâm của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng a . Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi $2\sqrt 3 \pi a$ . Diện tích mặt cầu (S) bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,$ hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm H của cạnh $BC.$ Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Gọi G là trọng tâm tam giác $SAC,R$ là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( SAB \right).$ Đẳng thức nào sau đây sai?

Cho điểm $I\left( {1;7;5} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 6}}{{ – 1}} = \frac{z}{3}$. Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng $2\sqrt {6015}$ là

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; – 3;2} \right)$ và đi qua $A\left( {5; – 1;4} \right)$ có phương trình:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0; – 2;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y – 2z + 3 = 0$. Biết mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là $2\pi$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là

Cho mặt cầu (S) có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z + 5 = 0$ và mặt phẳng (P):3x−2y+6z+m=0. (S) và (P) giao nhau khi

Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ bằng bê tông với chiều cao 100cm, độ dày của thành ống là 10cm và đường kính của ống là 50cm. Lượng bê tông cần phải đổ là:

Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2;1;1).

Trong không gian Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x – 2y + 2z + m = 0$ là phương trình của một mặt cầu.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại B, $AB=BC=a\sqrt{3},$ $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{0}}$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $A\sqrt{2}.$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ theo a.

Khối cầu bán kính R = 2a có thể tích là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 6z + 9 = 0$. Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu là

Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % thể tích hình hộp.