Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu $\left( {{S_1}} \right):\,{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 25, \left( {{S_2}} \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y + 4z – 4 = 0$. Biết các tiếp tuyến chung của hai mặt cầu đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu đi qua điểm cố định $M\left( {a;b;c} \right)$. Tính ${a^2} + bc$ bằng

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm O, bán kính R và mặt phẳng $\left( P \right)$ có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt $\left( P \right)$ tại N. Hình chiếu của O trên $\left( P \right)$ là I. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Trong không gian $Oxyz,$ phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I( – 1;2;0),$ bán kính $R = 4$ là

Hình chóp nào sau đây luôn nội tiếp được mặt cầu?

Một nóc tòa nhà cao tầng có dạng hình nón. Người ta muốn xây một bể nước có dạng một hình trụ nội tiếp trong hình nón để chứa nước (như hình vẽ minh họa). Cho biết SO=h;OB=R;OH=x₀<x<h. Tìm thể tích lớn nhất của hình trụ.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right): {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 4z – 16 = 0$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính r. Khi đó, giá trị của biểu thức L = a + b + c + r bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu $(S): x^{2}+y^{2}+z^{2}-8 x+4 y+2 z-4=0$ có
bán kính R là 

Cho mặt phẳng (P):2x – y – 2z – 2 = 0 và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = – t\\y = 2t – 1\\z = t + 2\end{array} \right.$.

Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I thuộc d, I có hoành độ dương, biết I cách $\left( P \right)$ một khoảng bằng 2 và $\left( S \right)$ cắt $\left( P \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.

Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có điểm chung nếu và chỉ nếu:

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,AC=a\sqrt{3},$ góc $\widehat{ACB}$ bằng ${{30}^{0}}.$ Góc giữa đường thẳng $AB'$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A'ABC$ bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = AB = 2AD = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu tâm B cắt SC theo một dây có độ dài 2a là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,$ hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm H của cạnh $BC.$ Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Gọi G là trọng tâm tam giác $SAC,R$ là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( SAB \right).$ Đẳng thức nào sau đây sai?

Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (α). Biết khoảng cách từ O tới (α) bằng d. Nếu d < R thì giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt cầu S(O;R) là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm $I(2 ;-1 ; 3$ tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình  

Bạn Nam cao 1,8m tham gia trò chơi nhà bóng. Bạn Nam phải đứng thẳng trong quả bóng hình cầu và lăn trên cỏ. Để Nam có thể đứng được trong quả bóng thì Nam phải chọn quả bóng có thể tích ít nhất là bao nhiêu trong các kết quả sau:

Cho mặt cầu tâm O bán kính R và điểm A bất kì trong không gian. Điểm A không nằm ngoài mặt cầu khi và chỉ khi:

Viết phương trình mặt phẳng song song với (P):6x−2y+3z+7=0 và tiếp xúc với mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y + 2z - 1 = 0.$

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại B, $AB=BC=a\sqrt{3},$ $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{0}}$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $a\sqrt{2}.$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ theo a.

Trong không gian với hệ tọa độ ${\rm{Ox}}yz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}$ và mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I có phương trình $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 18$. Đường thẳng d cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm A,B. Tính diện tích tam giác IAB.

Giá trị $\alpha$ phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu: $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - {{\cos }^2}\alpha } \right)x + 4\left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} \right) + 2z + \cos 4\alpha + 8 = 0$? $(k\in Z)$

Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?