Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right),\,\,SA=2a\), tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\,BC=2a\sqrt{2}\), \(\cos \widehat{ACB}=\frac{1}{3}.\) Tính diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\)\(\Rightarrow HC=\frac{BC}{2}=a\sqrt{2}\).
Do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) \(\Rightarrow AH\bot BC\).
\(\cos \widehat{ACB}=\frac{1}{3}\Rightarrow AC=3HC\Rightarrow AC=3a\sqrt{2}\).
\(\Rightarrow AH=\sqrt{A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\sqrt{18{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=4a\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(AC\), trong mp \(\left( ABC \right)\) vẽ đường trung trực \(AC\) cắt \(AH\) tại \(O\)\(\Rightarrow \) \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
Ta có \(\cos \widehat{ACH}=\frac{1}{3}\Rightarrow \sin \widehat{CAH}=\frac{1}{3}\Rightarrow \cos \widehat{CAH}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\).
Trong \(\Delta AMO\) vuông tại \(M\)\(\Rightarrow AO=\frac{AM}{\cos \widehat{CAH}}=\frac{3a\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{9a}{4}\)
Gọi \(N\) là trung điểm \(SA\).
Trong mp \(\left( SAH \right)\) vẽ trung trực \(SA\) cắt đường thẳng qua \(O\) và vuông góc mp \(\left( ABC \right)\) tại \(I\).
Chứng minh được \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC.\)
Ta có \(ANIO\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow \) đường chéo \(AI=\sqrt{A{{O}^{2}}+A{{N}^{2}}}=\sqrt{\frac{81{{a}^{2}}}{16}+{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{97{{a}^{2}}}{16}}=\frac{\sqrt{97}}{4}a\).
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là \(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi \frac{97{{a}^{2}}}{16}=\frac{97}{4}\pi {{a}^{2}}\) (đvdt).
